PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do IME 2022
Seis irmãos conversavam quando um deles, Matias, enunciou: a soma das idades de todos nós é cinco vezes a minha idade atual e sou seis anos mais novo que Sófocles. Quando Sófocles tiver três vezes a minha idade atual, constataremos que:
- a soma da minha idade com a de Dâmocles será igual à soma da idade atual dos irmãos de César;
- a idade de Erastóstenes será três vezes a idade dele atual; e
- a idade do Lutero será duas vezes a idade atual do Sófocles, mais um ano.
Diante do exposto, qual é a soma das idades atuais de Sófocles e Matias?
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Resolução comentada
a) Sejam M, S, D, C, E e L as idades atuais de Matias, Sófocles, Dâmocles, César, Erastóstenes e Lutero.
Do enunciado, M+S+D+C+E+L=5M e S=M+6.
Sófocles terá 3M anos daqui a t anos, com
Nesse momento, cada irmão terá a idade atual mais t. Usando as três constatações:
- Erastóstenes: E+t=3E, logo E=\dfrac{t}{2}=M-3.
- Lutero: L+t=2S+1, logo L=2(M+6)+1-(2M-6)=19.
- Matias e Dâmocles: (M+t)+(D+t)=M+S+D+E+L. Os irmãos de César são todos os outros cinco, e não entram César nem a soma de Matias com ele mesmo. Cancelando M e D dos dois lados, fica 2t=S+E+L.
Substituindo na terceira:
Logo S=17+6=23.
Confirmando: t=28, E=14 e L=19. A soma total é 17+23+D+C+14+19=85, então D+C=12, que é possível com idades positivas. A condição 3 também fecha: 45+(D+28)=73+D e 17+23+D+14+19=73+D.
A soma pedida é S+M=23+17=40.
Soma das idades de Sófocles e Matias: 40 anos.
Assunto: Sistemas lineares.
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Fonte: IME 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗