Correção IME 2027 · MatemáticaAcompanhe a resolução de cada questão da 2ª fase, ao vivoAcompanhar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do IME 2022

Matemática · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Seja um triângulo acutângulo \triangle ABC onde h_B e h_C são as alturas dos vértices B e C, respectivamente, e \overline{BC} = a. Sabendo-se que \dfrac{h_B h_C}{a^2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} e \cos \widehat{A} + \cos \widehat{B} \cos \widehat{C} = \dfrac{p}{q\sqrt{m}}, calcule p + q + m.

Dados:
• p, q e m são números naturais;
• p e q são primos entre si; e
• m é o menor possível.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Escreva as alturas em função dos senos. Como h_B é a altura relativa a AC, ela também é cateto do triângulo retângulo formado com o lado BC=a: h_B = a\,\sen C. Do mesmo modo, h_C = a\,\sen B.

Então:

\frac{h_B h_C}{a^2}=\sen B\,\sen C=\frac{\sqrt6}{4}.

Agora use A = 180^\circ-(B+C):

\cos A=-\cos(B+C)=-\cos B\cos C+\sen B\sen C.

Portanto:

\cos A+\cos B\cos C=\sen B\,\sen C=\frac{\sqrt6}{4}.

Agora é preciso escrever esse valor na forma \dfrac{p}{q\sqrt m} com m o menor possível. Racionalizando ao contrário:

\frac{\sqrt6}{4}=\frac{6}{4\sqrt6}=\frac{3}{2\sqrt6}.

Igualando \dfrac{p}{q\sqrt m}=\dfrac{\sqrt6}{4}, obtém-se m=\dfrac{8}{3}\left(\dfrac pq\right)^2. Testando m=1,2,3,4,5, o quadrado \left(\dfrac pq\right)^2=\dfrac{3m}{8} vale \dfrac38,\dfrac34,\dfrac98,\dfrac32,\dfrac{15}{8}, e nenhum deles é quadrado de racional. Já m=6 dá \dfrac94, ou seja, \dfrac pq=\dfrac32. Logo m=6 é o menor, com p=3 e q=2 (primos entre si).

p+q+m=3+2+6=11.

Resposta: 11

Assuntos: Identidades, adição de arcos e arco duplo, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 10 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2022

Fonte: IME 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗