Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do IME 2022

Question

Sabendo-se que \frac{\operatorname{sen}^4\alpha}{a} + \frac{\cos^4 \alpha}{b} = \frac{1}{a+b} com a \neq 0, b \neq 0 e a + b \neq 0, determine \frac{\operatorname{sen}^8\alpha}{a^3} + \frac{\cos^8 \alpha}{b^3} em função de a e b somente.

Answer 1

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Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do IME 2022

Matemática · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Sabendo-se que \frac{\operatorname{sen}^4\alpha}{a} + \frac{\cos^4 \alpha}{b} = \frac{1}{a+b} com a \neq 0, b \neq 0 e a + b \neq 0, determine \frac{\operatorname{sen}^8\alpha}{a^3} + \frac{\cos^8 \alpha}{b^3} em função de a e b somente.

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Resolução comentada

a) Faça x=\operatorname{sen}^2\alpha e y=\cos^2\alpha, com x+y=1. A condição dada vira

\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=\frac{1}{a+b}.

Multiplicando por a+b e usando 1=(x+y)^2:

x^2+y^2+\frac{b}{a}x^2+\frac{a}{b}y^2=x^2+2xy+y^2.

Passando tudo para um lado:

\frac{b}{a}x^2+\frac{a}{b}y^2-2xy=0 \iff \frac{(bx-ay)^2}{ab}=0 \iff bx=ay.

Como y=1-x, temos bx=a(1-x), logo x(a+b)=a. Assim:

\operatorname{sen}^2\alpha=\frac{a}{a+b},\qquad \cos^2\alpha=\frac{b}{a+b}.

Agora calculamos a expressão pedida, lembrando que \operatorname{sen}^8\alpha=x^4 e \cos^8\alpha=y^4:

\frac{x^4}{a^3}=\frac{a^4}{(a+b)^4a^3}=\frac{a}{(a+b)^4},\qquad \frac{y^4}{b^3}=\frac{b}{(a+b)^4}.

Somando:

\frac{a+b}{(a+b)^4}=\frac{1}{(a+b)^3}.

Resposta: \dfrac{1}{(a+b)^3}

Assuntos: Identidades, adição de arcos e arco duplo, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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Questão 9 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2022

Fonte: IME 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗