Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do IME 2020

a) Primeiro simplificamos o denominador. Pela fórmula de Euler, e^{2ix}=\cos 2x + i\,\sen 2x. Além disso, -2\cos^2 x+1=-\cos 2x. Então:

Multiplicando por i, o denominador fica i\cdot i\,\sen 2x=-\sen 2x. A expressão é, portanto, real:

Sua parte real é o próprio Z, e a inequação vira \dfrac{2\log_2\sen x+1}{\sen 2x}<0.

Condições de existência: o logaritmo exige \sen x>0, e o denominador exige \sen 2x\neq 0. Como \sen 2x=2\sen x\cos x e \sen x>0, isso equivale a \cos x\neq 0. Logo x\in(0,\pi)\setminus\{\pi/2\}, a menos de voltas completas.

Sinais. Com \sen x>0, o sinal de \sen 2x é o de \cos x.

No numerador:

O numerador é nulo em \pi/4 e 3\pi/4. Nesses pontos a expressão vale 0, que não é >0, então eles ficam fora. O numerador é negativo para \sen x<\tfrac{\sqrt2}{2}, isto é, em (0,\pi/4)\cup(3\pi/4,\pi).

O quociente é negativo em dois casos:

1. Numerador >0 e \cos x<0: x\in(\pi/2,\,3\pi/4).
2. Numerador <0 e \cos x>0: x\in(0,\,\pi/4).

Para x\in(3\pi/4,\pi), o numerador e \cos x são ambos negativos, então o quociente é positivo e esse intervalo não serve.

Conferindo com x=\pi/6: o numerador vale 2(-1)+1=-1 e \sen 2x>0. Então Z=\dfrac{-1}{-\sen 2x}>0, como esperado.

Incluindo a periodicidade de 2\pi:

x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left(2k\pi,\,2k\pi+\tfrac{\pi}{4}\right)\cup\left(2k\pi+\tfrac{\pi}{2},\,2k\pi+\tfrac{3\pi}{4}\right)

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Logaritmos e função logarítmica.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.