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Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do IME 2020

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Uma matriz A é semelhante a uma matriz B se e somente se existe uma matriz invertível P tal que A = P\text{ }B\text{ }P^{-1}.

a) Se A e B forem semelhantes, mostre que \det(A) = \det(B).

b) Dadas C = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} e D = \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, verifique se essas matrizes são semelhantes.

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a) Se A e B são semelhantes, existe P invertível com A = PBP^{-1}. O determinante do produto é o produto dos determinantes, e \det(P^{-1}) = \dfrac{1}{\det P} (existe porque \det P \neq 0). Então:

\det A = \det P \cdot \det B \cdot \det(P^{-1}) = \det P \cdot \det B \cdot \frac{1}{\det P} = \det B.

Logo, \det A = \det B.

b) O item (a) dá só uma condição necessária. Aqui \det C = 20 - 6 = 14 e \det D = 8 + 6 = 14, então o teste não elimina a semelhança e é preciso concluir de outro modo.

Os traços também coincidem: \text{tr}\,C = 9 e \text{tr}\,D = 9. Em matrizes 2\times 2, isso significa que as duas têm o mesmo polinômio característico:

\lambda^2 - 9\lambda + 14 = (\lambda - 2)(\lambda - 7).

Os autovalores são 2 e 7, distintos. Por isso ambas são diagonalizáveis para \Lambda = \begin{pmatrix}2&0\\0&7\end{pmatrix}, e então são semelhantes entre si.

Vamos exibir a matriz P explicitamente.

  1. Autovetores de C: para \lambda=2, (1,-1); para \lambda=7, (2,3). Daí P_C = \begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix} e C = P_C \Lambda P_C^{-1}.
  2. Autovetores de D: para \lambda=2, (1,3); para \lambda=7, (2,1). Daí P_D = \begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix} e D = P_D \Lambda P_D^{-1}.
  3. Então C = P_C P_D^{-1}\, D\, P_D P_C^{-1} = Q D Q^{-1}, com
Q = P_C P_D^{-1} = \begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\tfrac15&\tfrac25\\ \tfrac35&-\tfrac15\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}.

Como \det Q = -1 \neq 0, Q é invertível.

Verificação de CQ = QD: CQ = \begin{pmatrix}8&-2\\13&-5\end{pmatrix} e QD = \begin{pmatrix}8&-2\\13&-5\end{pmatrix}. As duas coincidem.

Portanto C e D são semelhantes, com C = QDQ^{-1} e Q=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: IME 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗