PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do IME 2020
Em um jogo, João e Maria possuem cada um três dados não viciados com seis faces numeradas de 1 a 6. Cada um lançará os seus dados, sendo João o primeiro a lançar. O vencedor será aquele que obtiver o maior número de dados com resultados iguais. Em caso de empate, vencerá aquele que tiver o maior número nos dados de igual resultado. Se ainda houver empate, não haverá vencedor. Suponha que João obteve apenas dois dados com mesmo resultado. Qual é a probabilidade de Maria vencer o jogo?
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Resolução comentada
a) Vamos separar o que João fez do que Maria precisa fazer.
João tirou exatamente um par, de valor k, mais um terceiro dado diferente. Pela simetria dos dados, k é igual a 1,2,\dots,6 com a mesma probabilidade \frac16.
Maria vence em apenas dois casos:
- Trinca (três dados iguais): ela tem mais dados iguais que João, então vence qualquer que seja k.
- Par de valor m>k: empata na quantidade de dados iguais e tem o maior número. Par com m=k dá empate total e ninguém vence. Par com m<k perde.
Total de resultados de Maria: 6^3=216.
- Trinca: são 6 resultados, então P=\frac{6}{216}.
- Par exato de valor m: escolhemos o dado que fica de fora (3 modos) e o valor dele, diferente de m (5 modos). Isso dá 3\cdot5=15 resultados, então P=\frac{15}{216} para cada m.
Dado k, existem 6-k valores m>k. Então:
Como k é equiprovável, tiramos a média:
Probabilidade de Maria vencer: \dfrac{29}{144} (aproximadamente 20{,}1\%).
Assuntos: Probabilidade condicional, Eventos sucessivos e distribuição binomial.
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Fonte: IME 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗