Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do IME 2020

a) Escreva Z=x+iy e imponha as duas condições.

Condição sobre \frac{Z}{20}. Temos \frac{Z}{20}=\frac{x}{20}+i\frac{y}{20}. Exigir partes real e imaginária entre 0 e 1 dá 0\le x\le 20 e 0\le y\le 20. Isso é o quadrado de lado 20, de área 400.

Condição sobre \frac{20}{\bar Z}. Multiplicando numerador e denominador por Z:

Dentro do quadrado, x,y\ge 0, então as partes já são não negativas. Falta impor que sejam \le 1:

• \frac{20x}{x^2+y^2}\le 1 \iff x^2+y^2\ge 20x \iff (x-10)^2+y^2\ge 100.
• \frac{20y}{x^2+y^2}\le 1 \iff x^2+(y-10)^2\ge 100.

O ponto Z=0 não entra, mas tem área nula e não afeta o resultado.

Assim, S é o quadrado menos o interior dos dois discos de raio 10, com centros em (10,0) e (0,10).

Área dos discos dentro do quadrado.

• O disco de centro (10,0) tem x\in[0,20]. Dentro do quadrado fica só a metade com y\ge0, de área 50\pi.
• O disco de centro (0,10) também contribui com uma metade, de área 50\pi.

Os dois semicírculos se sobrepõem. Os círculos se cortam em (0,0) e (10,10), e a distância entre os centros é 10\sqrt2. Cada corda vê um ângulo central de 90^\circ, então a interseção (uma lente) vale

Essa lente está inteiramente no quadrado.

União dos discos no quadrado:

Área de S:

Área de S = 300-50\pi

Assuntos: Números complexos, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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