PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do IME 2020
Sejam a e b raízes da equação x^2 - 4x + M = 0, c e d raízes da equação x^2 - 36x + N = 0. Sabendo-se que a, b, c e d formam uma progressão geométrica crescente, determine o valor de M + N.
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Resolução comentada
a) Escreva a progressão como a,\ aq,\ aq^2,\ aq^3, com b=aq, c=aq^2 e d=aq^3. Use as relações de Girard (soma e produto das raízes) nas duas equações.
Na primeira equação, a+b=4 e ab=M. Na segunda, c+d=36 e cd=N.
- Da primeira soma: a(1+q)=4.
- Da segunda soma: aq^2(1+q)=36.
- Dividindo a segunda pela primeira: q^2=9, logo q=3 ou q=-3.
Se q=-3, então a(1-3)=4 e a=-2. A sequência seria -2,\ 6,\ -18,\ 54, que alterna de sinal e não é crescente. Portanto q=3.
Com q=3: a\cdot 4=4, então a=1. A progressão é 1,\ 3,\ 9,\ 27, que é crescente.
Agora calculamos M e N:
Verificação: c+d=9+27=36, como exigido pela segunda equação.
M+N=246
Assuntos: Progressão geométrica, Equação do 2º grau.
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Fonte: IME 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗