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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do IME 2019

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Seja o polinômio q(x) = x^4 - 8x^3 + 6x^2 + 40x + 25 + k que possui valor mínimo igual a -64, onde k é uma constante real. Determine as raízes de q(x).

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Resolução comentada

Achando k.

O coeficiente de x^4 é positivo, então o mínimo de q ocorre em um ponto crítico. Derivando:

q'(x)=4x^3-24x^2+12x+40=4(x^3-6x^2+3x+10).

Testando x=-1 no cubo: -1-6-3+10=0. Dividindo, x^3-6x^2+3x+10=(x+1)(x^2-7x+10)=(x+1)(x-2)(x-5). Os pontos críticos são -1, 2 e 5.

Seja p(x)=q(x)-k=x^4-8x^3+6x^2+40x+25. Então:

  • p(-1)=1+8+6-40+25=0
  • p(2)=16-64+24+80+25=81
  • p(5)=625-1000+150+200+25=0

O menor valor de p é 0. Logo o mínimo de q é k, e k=-64.

Fatorando.

Como p se anula em -1 e 5, que são pontos de mínimo, suspeitamos que p seja um quadrado perfeito. Conferindo:

(x^2-4x-5)^2=x^4-8x^3+6x^2+40x+25=p(x).

Assim:

q(x)=(x^2-4x-5)^2-64=(x^2-4x-5-8)(x^2-4x-5+8)=(x^2-4x-13)(x^2-4x+3).

Raízes.

  • x^2-4x+3=0 dá x=1 ou x=3.
  • x^2-4x-13=0 dá x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+52}}{2}=2\pm\sqrt{17}.

As raízes de q(x) são 1, 3, 2+\sqrt{17} e 2-\sqrt{17}, com k=-64.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Polinômios.

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Fonte: IME 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗