PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do IME 2019
Definimos a função f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N} da seguinte forma:
\begin{cases} f(0) = 0 \\ f(1) = 1 \\ f(2n) = f(n), \quad n \ge 1 \\ f(2n + 1) = f(n) + 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}, \quad n \ge 1 \end{cases}
Determine f(f(2019)).
Observação: \lfloor k \rfloor é o maior inteiro menor ou igual a k.
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Resolução comentada
Vamos aplicar as regras da definição, reduzindo o argumento até chegar em valores conhecidos.
Cálculo de f(2019)
- 2019 = 2\cdot 1009 + 1 e 2^9 = 512 \le 1009 < 1024, logo \lfloor\log_2 1009\rfloor = 9. Então f(2019)=f(1009)+512.
- 1009 = 2\cdot 504+1 e 256\le 504<512, logo f(1009)=f(504)+256.
- Como f(2n)=f(n): f(504)=f(252)=f(126)=f(63).
- Para os ímpares:
- f(3)=f(1)+2^0=2
- f(7)=f(3)+2^1=4
- f(15)=f(7)+2^2=8
- f(31)=f(15)+2^3=16
- f(63)=f(31)+2^4=32
- Assim, f(504)=32, f(1009)=32+256=288 e f(2019)=288+512=800.
Cálculo de f(800)
- 800 = 2^5\cdot 25, então f(800)=f(25) (aplicando f(2n)=f(n) cinco vezes).
- 25=2\cdot 12+1 e \lfloor\log_2 12\rfloor=3, logo f(25)=f(12)+8.
- f(12)=f(6)=f(3)=2.
- Portanto f(25)=2+8=10.
f(f(2019))=f(800)=\mathbf{10}
Assunto: Sequências e padrões.
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Fonte: IME 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗