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Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do IME 2019

Matemática · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Um cubo com diagonal principal \overline{AG} é interceptado pelo plano \alpha, perpendicular à \overline{AG}, formando uma seção hexagonal regular. Calcule, em função da aresta a do cubo:

a) o apótema dessa seção hexagonal;

b) o raio da esfera que é tangente a essa seção e às faces do cubo que contém o vértice A.

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Resolução comentada

a) Coloque A=(0,0,0) e G=(a,a,a). Um plano perpendicular a \overline{AG} tem equação x+y+z=k. A seção é um hexágono regular quando k=\dfrac{3a}{2}, ou seja, o plano passa pelo centro do cubo.

Nesse caso os vértices do hexágono são os pontos médios de seis arestas, como \left(a,\tfrac a2,0\right) e \left(a,0,\tfrac a2\right). O lado é a distância entre dois vértices consecutivos:

\ell=\sqrt{0+\left(\tfrac a2\right)^2+\left(\tfrac a2\right)^2}=\frac{a\sqrt2}{2}

O apótema de um hexágono regular é \dfrac{\ell\sqrt3}{2}:

\text{ap}=\frac{a\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}

Apótema =\dfrac{a\sqrt6}{4}

b) A esfera é tangente às três faces que contêm A, que são os planos x=0, y=0 e z=0. Por simetria, o centro está em (r,r,r), sobre a diagonal \overline{AG}, e o raio é r.

A esfera também é tangente ao plano x+y+z=\dfrac{3a}{2}. A distância do centro a esse plano deve ser igual a r:

\frac{\left|3r-\frac{3a}{2}\right|}{\sqrt3}=r

Como a esfera fica do lado de A, temos 3r<\dfrac{3a}{2} e então \dfrac{3a}{2}-3r=r\sqrt3:

r=\frac{3a}{2(3+\sqrt3)}=\frac{3a(3-\sqrt3)}{2\cdot 6}

A outra raiz da equação, r=\dfrac{a(3+\sqrt3)}{4}>a, daria uma esfera maior que o cubo, que não pode tocar as faces dentro delas. Por isso a descartamos.

Conferência: o ponto de tangência com a seção é \left(\tfrac a2,\tfrac a2,\tfrac a2\right), o centro do hexágono. Os pontos de tangência com as faces, como (0,r,r), estão dentro delas, pois r\approx0{,}32a<a.

r=\dfrac{a(3-\sqrt3)}{4}

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Esfera.

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Fonte: IME 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗