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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Física) da 2ª fase do IME 2019

Física · Física: Reflexão total e dispersão da luz

Diagrama dividido em duas partes: Figura 1 e Figura 2. Na Figura 1, à esquerda, uma lanterna cilíndrica de diâmetro d emite raios de luz verticais para cima em direção a uma lente convergente de centro óptico O, acoplada à base horizontal de um Prisma de Amici (prisma retângulo isósceles com ângulo de 45° na base esquerda e ângulo reto na base direita). Os raios convergem para o foco F, localizado na face-hipotenusa inclinada do prisma, onde sofrem reflexão interna total em direção à face-cateto vertical direita. O eixo central horizontal pontilhado sai de F, passa pelo ponto A na face vertical e segue para a direita. Os raios extremos saem da face vertical formando um cone divergente, sendo θ o ângulo entre o raio superior refratado e a horizontal. Na Figura 2, à direita, o conjunto óptico (lanterna, lente e prisma) está inclinado, girando com velocidade angular ω. O foco F está a uma distância horizontal FT = 10 m de um anteparo vertical plano. O prolongamento do eixo do cone intercepta o anteparo no ponto P, acima do ponto T, e os raios extremos do cone atingem o anteparo acima e abaixo de P.

Um conjunto óptico é formado por uma lente convergente e um prisma de Amici, conforme mostra a Figura 1. O conjunto está totalmente integrado, sendo formado pelo mesmo vidro. A lente possui centro óptico O e foco F situado sobre a face-hipotenusa do prisma. Nesse prisma, os raios incidentes sobre a face-hipotenusa sofrem reflexão interna total. Uma lanterna cilíndrica muito potente, com potência óptica de P = \pi\sqrt{3}\ \text{W} e diâmetro d = 10\ \text{cm}, gera raios de luz paralelos ao eixo principal da lente. A lanterna está solidária ao sistema óptico e seus raios são focalizados pela lente e refletidos pelo prisma, até a sua face-cateto plana, saindo do prisma e projetando a luz sobre um anteparo plano alinhado verticalmente. Conforme mostra a Figura 2, no intervalo 0 \le t < 12\ \text{s}, todo o conjunto óptico começa a girar, a partir do instante em que P coincide com T, em velocidade angular constante \omega = \pi/36\ \text{rad/s}. Dessa forma, o contorno da luz projetada no anteparo passa a ser uma curva plana, conhecida na matemática.

Diante do exposto, determine:

a) o ângulo de abertura \theta do cone formado na saída do prisma, quando o índice de refração do conjunto óptico é o mínimo para que o feixe luminoso seja totalmente refletido na face-hipotenusa;

b) a expressão da velocidade escalar v(t) com que o ponto P (interseção do eixo do cone com o anteparo) desloca-se verticalmente ao longo do anteparo; e

c) a densidade de potência, em \text{W/m}^2, da luz projetada no anteparo, em t = 9\ \text{s}. Neste caso, considere que todas as dimensões do prisma são muito pequenas em relação à distância para o anteparo, ou seja, o ângulo de abertura é \theta ao longo de todo o cone de saída, a partir de F.

Dados:

  • o meio externo é o ar: n_1 = 1;
  • \overline{\boldsymbol{OF}} = \overline{\boldsymbol{FA}} = 5(1 + 2\sqrt{2})\ \text{cm}; e
  • a separação horizontal entre o foco F da lente e o anteparo, no ponto T, é \overline{\boldsymbol{FT}} = 10\ \text{m}.

Observação:

  • a linha \overline{\boldsymbol{FP}}, prolongamento de \overline{\boldsymbol{FA}}, é o eixo do cone;
  • o ângulo \theta é o ângulo entre o eixo e qualquer geratriz do cone de luz de saída do prisma; e
  • desconsidere qualquer perda da intensidade luminosa ao longo de todo o percurso até o anteparo.
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Resolução comentada

a) Os raios extremos da lanterna entram na lente a d/2 = 5\ \text{cm} do eixo e convergem para F. Dentro do vidro, eles fazem com o eixo OF (vertical) um ângulo \alpha tal que

\tg\alpha=\frac{5}{5(1+2\sqrt2)}=\frac{1}{1+2\sqrt2}

Na hipotenusa (a 45° da horizontal), o raio central incide a 45° e os raios extremos incidem a 45^\circ\pm\alpha. Depois da reflexão, o cone fica com eixo horizontal (FA) e semiabertura \alpha dentro do vidro.

A reflexão total vale para todos os raios se o menor ângulo de incidência, 45^\circ-\alpha, for pelo menos o ângulo crítico. Para o índice mínimo, ocorre a igualdade:

n\,\sen(45^\circ-\alpha)=1

Na face vertical, a normal é horizontal, então o raio extremo incide com ângulo \alpha. Pela lei de Snell, \sen\theta=n\,\sen\alpha. Combinando com a condição anterior:

\sen\theta=\frac{\sen\alpha}{\sen(45^\circ-\alpha)}=\frac{\sen\alpha}{\frac{\sqrt2}{2}(\cos\alpha-\sen\alpha)}=\frac{\sqrt2\,\tg\alpha}{1-\tg\alpha}=\frac{\sqrt2}{\frac1{\tg\alpha}-1}=\frac{\sqrt2}{2\sqrt2}=\frac12

Logo \theta=30^\circ.

\theta = 30^\circ

b) O eixo do cone gira com \varphi=\omega t em relação à horizontal. Com FT=L=10\ \text{m}, a altura de P acima de T é

y(t)=L\,\tg(\omega t)=10\,\tg\!\left(\frac{\pi t}{36}\right)

Derivando em relação ao tempo:

v(t)=\frac{dy}{dt}=\frac{L\omega}{\cos^2(\omega t)}=\frac{10\pi}{36}\sec^2\!\left(\frac{\pi t}{36}\right)

v(t)=\dfrac{5\pi}{18}\sec^2\!\left(\dfrac{\pi t}{36}\right)\ \text{m/s}, para 0\le t<12\ \text{s}

c) Em t=9\ \text{s}, \omega t=\pi/4, então o eixo do cone está a 45° da horizontal. A semiabertura é 30°, e 45^\circ+30^\circ<90^\circ, logo a mancha no anteparo é uma elipse.

Tome o vértice do cone em F, o anteparo em x=L e um ponto (L,z,y) do anteparo. O eixo é \vec u=(\cos45^\circ,0,\sen45^\circ). A condição de estar sobre o cone é \vec r\cdot\vec u=|\vec r|\cos30^\circ:

\frac{(L+y)^2}{2}=\frac34\,(L^2+z^2+y^2)

Simplificando:

3z^2+(y-2L)^2=3L^2\ \Rightarrow\ \frac{(y-2L)^2}{3L^2}+\frac{z^2}{L^2}=1

Os semieixos são a=\sqrt3L e b=L. Como confere, as bordas em y=L\,\tg15^\circ e y=L\,\tg75^\circ dão eixo maior 2\sqrt3L.

A área é

A=\pi ab=\pi\sqrt3L^2=100\pi\sqrt3\ \text{m}^2

Sem perdas, toda a potência P=\pi\sqrt3\ \text{W} chega ao anteparo, então

\frac{P}{A}=\frac{\pi\sqrt3}{100\pi\sqrt3}=1\times10^{-2}\ \text{W/m}^2

1\times10^{-2}\ \text{W/m}^2

Assuntos: Reflexão total e dispersão da luz, Movimento circular uniforme e transmissão de movimento, Refração da luz e lei de Snell.

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Fonte: IME 2ª fase 2019 · Física. Prova oficial ↗