PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do IME 2018
Determine todos os números primos p, q e r tais que 35p + 11pq + qr = pqr.
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Resolução comentada
Solução. Isole qr na equação:
qr = pqr - 35p - 11pq = p\,(qr - 35 - 11q).
Logo p \mid qr. Como p, q e r são primos, p=q ou p=r. Vamos analisar cada caso.
- Caso p=q. Substituindo, 35p + 11p^2 + pr = p^2 r. Dividindo por p:
r(p-1) = 35 + 11p \;\Rightarrow\; r = \frac{35+11p}{p-1} = 11 + \frac{46}{p-1}.
Assim, p-1 divide 46, e p-1\in\{1,2,23,46\}, ou seja, p\in\{2,3,24,47\}.
- p=2: r=57=3\cdot 19, não é primo.
- p=3: r=34, não é primo.
- p=24: não é primo.
- p=47: r=12, não é primo.
Esse caso não dá solução.
- Caso p=r. Substituindo, 35p + 11pq + pq = p^2 q. Dividindo por p:
35 + 12q = pq \;\Rightarrow\; q(p-12)=35.
Como q>0, temos p-12>0 e p-12\in\{1,5,7,35\}, com q=35,7,5,1 respectivamente.
- p=13, q=35: q não é primo.
- p=17, q=7: ambos primos.
- p=19, q=5: ambos primos.
- p=47, q=1: q não é primo.
Verificação.
- (17,7,17): 35\cdot17+11\cdot17\cdot7+7\cdot17=595+1309+119=2023=17\cdot7\cdot17.
- (19,5,19): 665+1045+95=1805=19\cdot5\cdot19.
Resposta: (p,q,r)=(17,7,17) e (19,5,19).
Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.
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Fonte: IME 2ª fase 2018 · Matemática. Prova oficial ↗