Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do IME 2018

Question

Seja a matriz A = \begin{bmatrix} k & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}, com k real.

Determine a faixa de valores de k para que exista uma matriz de números reais P tal que as condições abaixo sejam atendidas simultaneamente:

a) A^T P + PA = I em que A^T é a transposta da matriz A e I é a matriz identidade;

b) P seja simétrica;

c) p_{11} > 0, em que p_{11} é o elemento da linha 1 e coluna 1 de P; e

d) |P| > 0, em que |P| é o determinante da matriz P.

Answer 1

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Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do IME 2018

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Seja a matriz A = \begin{bmatrix} k & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}, com k real.

Determine a faixa de valores de k para que exista uma matriz de números reais P tal que as condições abaixo sejam atendidas simultaneamente:

a) A^T P + PA = I em que A^T é a transposta da matriz A e I é a matriz identidade;

b) P seja simétrica;

c) p_{11} > 0, em que p_{11} é o elemento da linha 1 e coluna 1 de P; e

d) |P| > 0, em que |P| é o determinante da matriz P.

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Resolução comentada

As letras a) a d) são condições para uma única pergunta, então a resolução é uma só.

Como P é simétrica, escrevemos P=\begin{bmatrix} a & b\\ b & c\end{bmatrix}. Com A^T=\begin{bmatrix} k&4\\-3&2\end{bmatrix}, temos PA=(A^TP)^T, porque P^T=P. Assim,

A^TP=\begin{bmatrix} ka+4b & kb+4c\\ -3a+2b & -3b+2c\end{bmatrix}

e a soma A^TP+PA=I dá o sistema:

2ka+8b=1
(k+2)b+4c-3a=0
-6b+4c=1

Resolvendo o sistema. Da equação 3, c=\dfrac{1+6b}{4}. Levando na 2, obtemos 3a=(k+8)b+1. Substituindo a na 1:

b\,(2k^2+16k+24)=3-2k \;\Rightarrow\; b=\frac{3-2k}{2(k+2)(k+6)}

Se k=-2 ou k=-6, o coeficiente de b se anula e o sistema fica sem solução, pois 3-2k\neq 0. Logo k\neq -2 e k\neq -6.

Chamando D=(k+2)(k+6), as outras entradas são:

a=\frac{k+16}{2D},\qquad c=\frac{k^2+2k+21}{4D}

Condição p_{11}>0. Precisamos de \dfrac{k+16}{2D}>0.

Condição |P|>0.

ac-b^2=\frac{(k+16)(k^2+2k+21)-2(3-2k)^2}{8D^2}=\frac{k^3+10k^2+77k+318}{8D^2}

Por tentativa, k=-6 é raiz do numerador, e a fatoração é (k+6)(k^2+4k+53). O fator k^2+4k+53 é sempre positivo, pois seu discriminante é negativo (16-212<0). Como D^2>0, o determinante é positivo se, e somente se, k+6>0, isto é, k>-6 (com k\neq -2).

Juntando as condições. Com k>-6, temos k+16>0. Então p_{11}>0 exige D>0. Como k+6>0, isso significa k+2>0, ou seja, k>-2.

Essa faixa já exclui k=-2 e k=-6.

Resposta: k>-2.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Sistemas lineares.

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Questão 6 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2018

Fonte: IME 2ª fase 2018 · Matemática. Prova oficial ↗