Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do IME 2017

a) Num cone equilátero, a seção meridiana é um triângulo equilátero, então o semiângulo no vértice é 30^\circ. Sejam r=\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}R o raio da esfera menor e R o da maior.

Um plano tangente às duas esferas e que as separa corta o cone numa elipse. Pelo teorema de Dandelin, as esferas tocam o plano nos focos da elipse. Além disso, a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos é constante e vale o comprimento 2a do eixo maior. Esse comprimento é a distância, medida sobre uma geratriz, entre as circunferências de tangência das duas esferas com o cone. O maior segmento com extremos na curva é o eixo maior, de comprimento 2a.

1. Racionalizando, r=R\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}=R(2-\sqrt3).
2. O centro de uma esfera de raio \rho tangente às geratrizes está a \dfrac{\rho}{\sen 30^\circ}=2\rho do vértice, no eixo.
3. O ponto de tangência com a geratriz fica a 2\rho\cos30^\circ=\rho\sqrt3 do vértice. Para a esfera menor é r\sqrt3, e para a maior é R\sqrt3.
4. A distância entre as circunferências de tangência, sobre a geratriz, é
   
   2a=\sqrt3\,(R-r)=\sqrt3\,R\,(\sqrt3-1)=(3-\sqrt3)R.

O plano existe e a curva é de fato uma elipse. A distância entre os centros é 2R-2r=2(\sqrt3-1)R, maior que R+r=(3-\sqrt3)R, então há plano tangente comum que separa as esferas. Ele forma com o eixo um ângulo \alpha tal que \sen\alpha=\dfrac{R+r}{2R-2r}=\dfrac{\sqrt3}{2}, ou seja \alpha=60^\circ. Como 60^\circ>30^\circ (semiângulo do cone), o plano corta todas as geratrizes, e a curva é uma elipse.

Maior segmento: (3-\sqrt3)R

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Cone e tronco de cone.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.