Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do IME 2017

a) Primeiro, as condições de existência: o radicando precisa ser não negativo, então 3x+1\ge 0, ou seja, x\ge -\tfrac13. O denominador não pode se anular, então \sqrt{3x+1}\neq 1, ou seja, x\neq 0.

Faça a substituição t=\sqrt{3x+1}, com t\ge 0 e t\ne 1. Daí t^2=3x+1, logo 3x=t^2-1 e

Como (1-t)^2=(t-1)^2\neq 0, podemos simplificar:

A inequação vira (t+1)^2>4. Como t\ge 0, temos t+1>0, e então podemos tirar a raiz quadrada dos dois lados sem inverter nada:

Essa solução já satisfaz x\ge -\tfrac13 e x\ne 0.

Conferência: para x=1, o resultado é \frac{9}{(1-2)^2}=9>4, que vale. Para x=-\tfrac13, o resultado é \frac{1}{1}=1, que não é maior que 4, e esse ponto fica fora da solução.

Solução: x>0, isto é, S=(0,+\infty).

Assunto: Inequações e desigualdades.

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