Questão 29 (CFS 2) da EEAR 2025

O volume de uma pirâmide é V=\frac{1}{3}A_b\cdot h. Como a pirâmide é triangular regular, a base é um triângulo equilátero de lado \ell, e o raio R da circunferência circunscrita a ele relaciona-se com o lado por \ell=R\sqrt{3}.

1. Área da base a partir do volume:
   

   243\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot A_b\cdot 12 \Rightarrow A_b=\frac{243\sqrt{3}}{4}\ \text{cm}^2

2. Área do triângulo equilátero: A_b=\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}. Igualando:
   

   \frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}=\frac{243\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \ell^2=243\Rightarrow \ell=9\sqrt{3}\ \text{cm}

3. Raio da circunferência circunscrita: R=\frac{\ell\sqrt{3}}{3}, pois R=\frac{2}{3} da altura \frac{\ell\sqrt{3}}{2}.
   

   R=\frac{9\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{27}{3}=9\ \text{cm}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Ausa o raio da circunferência inscrita (apótema da base, \ell\sqrt{3}/6=4{,}5) ou erra a conta; não chega a 6.
• Cdobra o valor, confundindo o raio com o diâmetro ou usando a razão errada com a altura do triângulo.
• Dconfunde o raio com \ell\sqrt{3}, multiplicando em vez de dividir por 3 (ou usa a altura da base).

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Triângulos: congruência e pontos notáveis, Áreas e perímetros de polígonos.

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