Questão 21 da UNICAMP 2027

Question

Considere a matriz

M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

em que as entradas a,b,c,d formam, nessa ordem, uma PA de razão negativa. Sabendo que o determinante de M é -8 e o traço de M, ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal de M, vale -4, o valor de a é

A
1.
B
-1.
C
5.
D
-5.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 21 da UNICAMP 2027

1ª fase · Matemática: Matrizes e determinantes

Considere a matriz

M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

em que as entradas a,b,c,d formam, nessa ordem, uma PA de razão negativa. Sabendo que o determinante de M é -8 e o traço de M, ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal de M, vale -4, o valor de a é

A
1.
B
-1.
C
5.
D
-5.

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Resolução comentada

Como a,b,c,d formam uma PA de razão r<0, escrevemos b=a+r, c=a+2r, d=a+3r.

Traço: a+d=-4, ou seja, 2a+3r=-4, e daí r=\dfrac{-4-2a}{3}.
Determinante: ad-bc=-8.

a(a+3r)-(a+r)(a+2r)=a^2+3ar-(a^2+3ar+2r^2)=-2r^2
Então -2r^2=-8, logo r^2=4 e r=\pm2. Como a razão é negativa, r=-2.
Voltando ao traço: 2a+3(-2)=-4, então 2a=2 e a=1.

Conferindo: a PA é 1,-1,-3,-5. A matriz é \begin{pmatrix}1&-1\\-3&-5\end{pmatrix}, com traço 1-5=-4 e determinante -5-3=-8. Tudo confere.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece de descartar r=2: com razão positiva obtém-se a=5, mas o enunciado exige razão negativa.

Por que as outras alternativas estão erradas

B-1 é o valor de b, o segundo termo da PA, e não de a.
CResulta de usar r=2 (razão positiva), que dá a=5 mas contraria o enunciado.
D-5 é o valor de d, o último termo da PA, e não de a.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Progressão aritmética.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2027. Prova oficial ↗