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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 da UNICAMP 2027

1ª fase · Matemática: Progressão geométrica

Considere a região

A = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2; x \ge 0, 0 \le y \le f(x)\right\}

em que f(x) = \frac{1}{3^x}, ilustrada na figura a seguir.

Gráfico no plano cartesiano com eixo horizontal x marcado em 0, 1, 2, 3 e 4, e eixo vertical y marcado em 1. Uma curva decrescente parte do ponto (0, 1) e se aproxima assintoticamente do eixo x à medida que x cresce. A região A, compreendida entre o eixo x, o eixo y (para x maior ou igual a 0) e a curva, está sombreada em cinza.

Considere a região B formada pela união de infinitos retângulos de base 1 e altura f(n), com n \in \mathbb{Z}, n \ge 0, como ilustrado na figura a seguir.

Gráfico no plano cartesiano com eixo horizontal x marcado em 0, 1, 2, 3 e 4, seguido de reticências, e eixo vertical y marcado em 1. Mostra a mesma curva decrescente partindo de (0, 1) e uma sequência de retângulos adjacentes sombreados em cinza, de base 1 nos intervalos [0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4] e assim por diante. O topo de cada retângulo no intervalo [n, n+1] tem altura igual ao valor da curva em x = n, ficando acima da curva.

A região A está contida na região B, portanto, a área da região B é uma estimativa por excesso para a área da região A.

A área da região B é

  1. A
    9/10.
  2. B
    3/9.
  3. C
    3/2.
  4. D
    40/27.
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Resolução comentada

A região B é a união de retângulos de base 1 e altura f(n)=\frac{1}{3^n}, para n=0,1,2,\dots. A área de cada retângulo é base vezes altura, ou seja, 1\cdot\frac{1}{3^n}.

A área total é a soma de todas essas áreas:

S = 1+\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots

Essa soma é uma progressão geométrica infinita. Como a razão q=\frac13 satisfaz |q|<1, a soma converge e vale

S=\frac{a_1}{1-q}

onde a_1 é o primeiro termo.

  1. Primeiro termo: a_1=f(0)=1.
  2. Razão: q=\frac{1/3}{1}=\frac13.
  3. Soma: S=\dfrac{1}{1-\frac13}=\dfrac{1}{\frac23}=\dfrac32.

Confira a coerência: a área de A é \int_0^\infty 3^{-x}dx=\frac{1}{\ln 3}\approx 0{,}91, e \frac32=1{,}5 é maior, como deve ser numa estimativa por excesso.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem soma só os retângulos visíveis na figura (n de 0 a 3) em vez da série infinita.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma soma correta da PG; é valor menor que a área de A (≈0,91), incompatível com estimativa por excesso.
  • B3/9=1/3 é só o segundo termo da série, ignorando o primeiro retângulo e os demais.
  • D40/27 é a soma apenas dos quatro primeiros retângulos (1+1/3+1/9+1/27), sem os infinitos termos restantes.

Assuntos: Progressão geométrica, Função exponencial.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2027. Prova oficial ↗