Questão 22 da UNICAMP 2027

Question

Considere a região sombreada da figura a seguir consistindo de um quadrado com vértices nos pontos (0,0), (1,1), (-1,1) (0,2).

Plano cartesiano com eixos x e y. Há uma região quadrada sombreada em cinza com vértices nos pontos (0, 0), (1, 1), (0, 2) e (-1, 1). Linhas tracejadas ligam os vértices (-1, 1) e (1, 1) aos valores -1 e 1 no eixo x, e entre si passando pelo valor 1 no eixo y.

O conjunto que descreve essa região é

A
\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x| \ge y \ge 2 - |x|\}.
B
\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x| \le y \le 2 - |x|\}.
C
\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x| \ge y \ge 2 + |x|\}.
D
\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x| \le y \le 2 + |x|\}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 22 da UNICAMP 2027

1ª fase · Matemática: Função modular

Considere a região sombreada da figura a seguir consistindo de um quadrado com vértices nos pontos (0,0), (1,1), (-1,1) (0,2).

Plano cartesiano com eixos x e y. Há uma região quadrada sombreada em cinza com vértices nos pontos (0, 0), (1, 1), (0, 2) e (-1, 1). Linhas tracejadas ligam os vértices (-1, 1) e (1, 1) aos valores -1 e 1 no eixo x, e entre si passando pelo valor 1 no eixo y.

O conjunto que descreve essa região é

A
\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x| \ge y \ge 2 - |x|\}.
B
\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x| \le y \le 2 - |x|\}.
C
\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x| \ge y \ge 2 + |x|\}.
D
\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x| \le y \le 2 + |x|\}.

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Resolução comentada

O quadrado tem vértices (0,0), (1,1), (0,2) e (-1,1). Seus lados ficam sobre quatro retas, e cada par de lados forma uma "curva com módulo".

Lados de baixo: vão de (-1,1) a (0,0) e de (0,0) a (1,1). Juntos formam o gráfico de y=|x|. Para x=1, y=1; para x=-1, y=1. Conferido.

Lados de cima: vão de (-1,1) a (0,2) e de (0,2) a (1,1). Juntos formam o gráfico de y=2-|x|. Para x=0, y=2; para x=\pm1, y=1. Conferido.

A região sombreada fica acima da "V" y=|x| e abaixo do "V invertido" y=2-|x|. Logo:

|x|\le y\le 2-|x|

Teste com o centro (0,1): 0\le 1\le 2, verdadeiro, e o ponto está dentro do quadrado. Teste com (0,3): 3\le 2 é falso, e o ponto está fora. Correto.

As opções com 2+|x| descrevem retas que sobem para os dois lados, o que não corresponde ao quadrado. As que usam |x|\ge y descrevem a região abaixo de y=|x|.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AInverte as desigualdades: |x|\ge y\ge 2-|x| só vale em região acima de y=2-|x| e abaixo de |x|, que é a parte de fora, não o quadrado.
CUsa 2+|x| (V aberto para cima) e desigualdades invertidas; |x|\ge y\ge 2+|x| é impossível.
DUsa 2+|x| como limite superior, que seria um V subindo para os lados, não o lado superior do quadrado.

Assuntos: Função modular, Inequações e desigualdades.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2027. Prova oficial ↗