Questão 23 da UNICAMP 2017

Para achar o lugar geométrico, desenvolva o produto de números complexos e compare as partes real e imaginária com as de i = 0 + 1\cdot i.

1. Multiplicando: (2x + yi)(y + 2xi) = 2xy + 4x^2 i + y^2 i + 2xy\, i^2.

2. Como i^2 = -1, o termo 2xy\,i^2 vale -2xy. Então 2xy - 2xy = 0 e a parte real do produto é nula.

3. A parte imaginária é 4x^2 + y^2.

4. Dois complexos são iguais quando as partes real e imaginária são iguais. Como i = 0 + 1\cdot i, a parte real é 0 = 0, o que é sempre verdade, e a parte imaginária dá:

5. Dividindo por 1, escrevemos \dfrac{x^2}{1/4} + \dfrac{y^2}{1} = 1. Essa é a equação reduzida de uma elipse, com semieixos \tfrac{1}{2} (em x) e 1 (em y), pois os dois termos são positivos e os denominadores são diferentes.

Portanto, o lugar geométrico é uma elipse.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BHipérbole exigiria sinais opostos entre x^2 e y^2; aqui os dois termos são positivos.
• CParábola tem apenas uma variável ao quadrado; aqui x e y aparecem ambos elevados ao quadrado.
• DReta seria equação de grau 1; a equação obtida é de grau 2.

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Números complexos.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.