PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 22 da UNICAMP 2017

1ª fase · Matemática: Polinômios

Considere o polinômio p(x) = x^n + x^m + 1, em que n > m \ge 1. Se o resto da divisão de p(x) por x + 1 é igual a 3, então

  1. A
    n é par e m é par.
  2. B
    n é ímpar e m é ímpar.
  3. C
    n é par e m é ímpar.
  4. D
    n é ímpar e m é par.
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Resolução comentada

Pelo teorema do resto, o resto da divisão de p(x) por x+1 é p(-1), pois x+1 = x-(-1).

Calculando:

  1. p(-1) = (-1)^n + (-1)^m + 1.
  2. O enunciado diz que esse valor é 3, então (-1)^n + (-1)^m + 1 = 3.
  3. Isso dá (-1)^n + (-1)^m = 2.

Como cada parcela vale 1 ou -1, a soma só chega a 2 se as duas forem iguais a 1:

(-1)^n = 1 \quad \text{e} \quad (-1)^m = 1

Potência de -1 é igual a 1 quando o expoente é par. Logo, n é par e m é par.

A condição n > m \ge 1 só garante que os expoentes são distintos e positivos, e não altera a conclusão. Exemplo: x^4 + x^2 + 1 em x=-1 dá 1+1+1=3.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BCom n e m ímpares, p(-1) = -1 - 1 + 1 = -1, não 3.
  • CCom n par e m ímpar, p(-1) = 1 - 1 + 1 = 1, não 3.
  • DCom n ímpar e m par, p(-1) = -1 + 1 + 1 = 1, não 3.

Assunto: Polinômios.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2017. Prova oficial ↗