PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 24 da UNICAMP 2017

1ª fase · Matemática: Prismas e paralelepípedos

Um paralelepípedo retângulo tem faces de áreas 2\text{ cm}^2, 3\text{ cm}^2 e 4\text{ cm}^2. O volume desse paralelepípedo é igual a

  1. A
    2\sqrt{3}\text{ cm}^3.
  2. B
    2\sqrt{6}\text{ cm}^3.
  3. C
    24\text{ cm}^3.
  4. D
    12\text{ cm}^3.
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Resolução comentada

Chame as arestas do paralelepípedo de a, b e c. As áreas das três faces diferentes são os produtos de duas arestas:

ab=2,\quad ac=3,\quad bc=4

O volume é V=abc. Nenhuma das equações dá abc sozinha, mas multiplicando as três juntas aparece cada aresta duas vezes:

  1. (ab)(ac)(bc)=2\cdot 3\cdot 4
  2. a^2b^2c^2=24
  3. (abc)^2=24

Como o volume é positivo:

V=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}\ \text{cm}^3

Conferindo: abc=2\sqrt6\approx 4{,}9. Então c=\dfrac{abc}{ab}=\sqrt6\approx2{,}45, b=\dfrac{abc}{ac}=\dfrac{2\sqrt6}{3}\approx1{,}63 e a=\dfrac{abc}{bc}=\dfrac{\sqrt6}{2}\approx1{,}22. Os produtos ab, ac e bc de fato dão 2, 3 e 4.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem multiplica as áreas e esquece que o resultado é V^2, não V.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A2\sqrt3=\sqrt{12} seria o volume se o produto das áreas fosse 12, o que não é o caso.
  • CUsa o produto das áreas, 2\cdot3\cdot4=24, esquecendo de tirar a raiz quadrada.
  • DSoma-se ou combina-se as áreas de modo errado (por exemplo, 3\cdot 4), sem relação com (abc)^2=24.

Assunto: Prismas e paralelepípedos.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2017. Prova oficial ↗