PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 da UNICAMP 2017

1ª fase · Matemática: Função quadrática

Considere o quadrado de lado a > 0 exibido na figura abaixo. Seja A(x) a função que associa a cada 0 \le x \le a a área da região indicada pela cor cinza.

Quadrado de lado a com uma região cinza delimitada por segmentos que partem do vértice inferior esquerdo até os lados superior e direito, deixando segmentos de comprimento x adjacentes ao vértice superior direito.

O gráfico da função y = A(x) no plano cartesiano é dado por

  1. A
    Gráfico em eixos cartesianos x e y de uma curva em formato de S com ponto de inflexão, partindo de (0,0) e terminando em (a, a²)
  2. B
    Gráfico em eixos cartesianos x e y de uma curva com concavidade para baixo partindo de (0,0) e terminando em (a, a²)
  3. C
    Gráfico em eixos cartesianos x e y de uma curva com concavidade para cima partindo de (0,0) e terminando em (a, a²)
  4. D
    Gráfico em eixos cartesianos x e y de uma reta partindo de (0,0) e terminando em (a, a²)
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Resolução comentada

A região cinza é o que sobra do quadrado depois de retirar dois triângulos brancos, ambos com um vértice no canto inferior esquerdo.

A área do quadrado é a^2.

  1. Triângulo branco da esquerda: base a-x no lado superior e altura a, então sua área é \frac{(a-x)\,a}{2}.
  2. Triângulo branco de baixo: base a no lado inferior e altura a-x no lado direito, então sua área também é \frac{a\,(a-x)}{2}.
  3. Juntos, os dois brancos têm área a(a-x).
  4. A área cinza é
A(x)=a^2-a(a-x)=a\,x.

Como a é constante, A(x)=ax é uma função linear, e seu gráfico é uma reta que passa pela origem.

Conferindo os extremos: para x=0, A=0, e para x=a, A=a^2. Isso corresponde ao quadrado inteiro, pois os dois triângulos brancos desaparecem. A reta liga (0,0) a (a,a^2).

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem espera área quadrática em x, mas os termos em x^2 se cancelam e a área é linear.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACurva em S sugere função cúbica ou trigonométrica; a área é linear em x.
  • BConcavidade para baixo sugeriria uma raiz quadrada; não há termo desse tipo em A(x)=ax.
  • CConcavidade para cima seria o caso de uma função quadrática, que apareceria se a área dependesse de x^2.

Assuntos: Função quadrática, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2017. Prova oficial ↗