PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 47 da UNICAMP 2016

1ª fase · Matemática: Progressão geométrica

Seja (a,b,c) uma progressão geométrica de números reais com a \neq 0. Definindo s = a+b+c, o menor valor possível para s/a é igual a

  1. A
    1/2.
  2. B
    2/3.
  3. C
    3/4.
  4. D
    4/5.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Numa PG (a,b,c) com razão q, temos b=aq e c=aq^2. Como a\neq 0, podemos dividir a soma por a:

\frac{s}{a}=\frac{a+aq+aq^2}{a}=1+q+q^2

A razão q é um número real qualquer (inclusive negativo), então o problema pede o menor valor da função quadrática f(q)=q^2+q+1.

Como o coeficiente de q^2 é positivo, a parábola tem concavidade para cima e o mínimo está no vértice.

  1. Posição do vértice: q_v=-\dfrac{1}{2\cdot 1}=-\dfrac12.
  2. Valor mínimo: f\left(-\tfrac12\right)=\dfrac14-\dfrac12+1=\dfrac{1-2+4}{4}=\dfrac34.

Conferindo pela fórmula y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}: \Delta=1-4=-3, logo y_v=\dfrac{3}{4}.

Portanto o menor valor possível de s/a é \dfrac34, obtido com q=-\dfrac12.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o vértice da parábola; resulta de erro de conta no cálculo de f(-1/2).
  • BNão corresponde ao mínimo de q^2+q+1; vem de erro de conta ao substituir o vértice.
  • DValor que não é atingido como mínimo da função; erro de conta no vértice.

Assuntos: Progressão geométrica, Função quadrática.

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Ver como caiu na prova Questão 47 no caderno Q da UNICAMP 2016

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2016. Prova oficial ↗