Questão 46 da UNICAMP 2016

Pela definição de logaritmo, \log_x(x+6)=2 significa x^2 = x+6, desde que a base e o logaritmando sejam válidos.

Condições de existência: a base deve satisfazer x>0 e x\neq 1, e o logaritmando deve ser positivo, x+6>0.

Resolvendo:

1. x^2 - x - 6 = 0
2. \Delta = 1 + 24 = 25
3. x = \dfrac{1 \pm 5}{2}, ou seja, x=3 ou x=-2.

Testando as condições: x=-2 não serve, pois a base seria negativa. Já x=3 cumpre tudo: base positiva e diferente de 1, e logaritmando 3+6=9>0.

Conferindo: \log_3 9 = 2, pois 3^2=9.

A única solução é x=3, que é um número primo (só tem os divisores 1 e 3). Não é par, não é negativo e não é irracional.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece a condição de existência da base e aceita x=-2 como solução.

Por que as outras alternativas estão erradas

• B3 é ímpar; o número par seria uma raiz inexistente aqui.
• CA raiz negativa, -2, é descartada porque a base do logaritmo não pode ser negativa.
• DA solução x=3 é inteira, portanto racional, não irracional.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Equação do 2º grau.

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