Questão 47 da UNICAMP 2013

Question

O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo.

Triângulo isósceles ABC sombreado com base horizontal AB e vértice inferior C com ângulo interno φ. Sobre a base AB assenta-se um semicírculo de diâmetro AB.

Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por S(\varphi) e T(\varphi), podemos afirmar que a razão S(\varphi)/T(\varphi), quando \varphi = \pi/2 radianos, é

A
\pi/2.
B
2\pi.
C
\pi.
D
\pi/4.

Answer 1

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Questão 47 da UNICAMP 2013

1ª fase · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo.

Triângulo isósceles ABC sombreado com base horizontal AB e vértice inferior C com ângulo interno φ. Sobre a base AB assenta-se um semicírculo de diâmetro AB.

Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por S(\varphi) e T(\varphi), podemos afirmar que a razão S(\varphi)/T(\varphi), quando \varphi = \pi/2 radianos, é

A
\pi/2.
B
2\pi.
C
\pi.
D
\pi/4.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Seja AB = 2r. O semicírculo tem raio r, então sua área é metade da área do círculo:

S = \frac{\pi r^2}{2}

O triângulo é isósceles de base AB, com ângulo \varphi = \pi/2 no vértice C. Logo ele é retângulo em C, com CA = CB.

Num triângulo retângulo isósceles, a altura relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa. Isso acontece porque o ponto médio M de AB é o circuncentro, e MC é raio da circunferência circunscrita. Então:

h = \frac{AB}{2} = r

A área do triângulo é:

T = \frac{AB \cdot h}{2} = \frac{2r \cdot r}{2} = r^2

A razão pedida é:

\frac{S}{T} = \frac{\pi r^2/2}{r^2} = \frac{\pi}{2}

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece que a região é só meio círculo e usa \pi r^2.

Por que as outras alternativas estão erradas

BErra a área do semicírculo ou da altura, chegando a um valor quatro vezes maior que o correto.
CUsa a área do círculo inteiro (\pi r^2) em vez do semicírculo.
DUsa a altura como 2r ou toma o triângulo com área 2r^2, dividindo o resultado correto por 2.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2013. Prova oficial ↗