PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 48 da UNICAMP 2013

1ª fase · Matemática: Números complexos

Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo tal que i^2 = -1.

Então i^0 + i^1 + i^2 + i^3 + \cdots + i^{2013} vale

  1. A
    0.
  2. B
    1.
  3. C
    i.
  4. D
    1 + i.
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Resolução comentada

As potências de i se repetem de 4 em 4: i^0=1, i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, e depois i^4=1 e o ciclo recomeça.

A soma de quatro potências consecutivas, começando em qualquer ponto do ciclo, é sempre zero:

1+i+(-1)+(-i)=0

A soma vai de i^0 até i^{2013}, ou seja, tem 2014 termos.

  1. Dividimos os termos em grupos de 4: 2014 = 4\cdot 503 + 2.
  2. Os primeiros 4\cdot 503 = 2012 termos (de i^0 até i^{2011}) formam 503 grupos completos, cada um somando 0.
  3. Sobram os dois últimos termos, i^{2012} e i^{2013}.
  4. Como 2012 = 4\cdot 503, temos i^{2012} = (i^4)^{503} = 1 e i^{2013} = i^{2012}\cdot i = i.

Logo:

S = 0 + 1 + i = 1 + i

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana quem esquece que são 2014 termos (do expoente 0 ao 2013) e acha que a soma de ciclos completos zera tudo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Asupõe que a soma toda se cancela, esquecendo que 2014 termos não é múltiplo de 4 e sobram dois termos.
  • Bconsidera só o termo i^{2012}=1 que sobra, esquecendo i^{2013}=i (contaria 2013 termos).
  • Cconsidera só i^{2013}=i como resto, esquecendo que i^{2012}=1 também sobra.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2013. Prova oficial ↗