PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 46 da UNICAMP 2013

1ª fase · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Sejam r, s e t as raízes do polinômio

p(x) = x^3 + ax^2 + bx + \left(\frac{b}{a}\right)^3,

em que a e b são constantes reais não nulas. Se s^2 = r\ t, então a soma de r + t é igual a

  1. A
    \frac{b}{a} + a.
  2. B
    -\frac{b}{a} - a.
  3. C
    a - \frac{b}{a}.
  4. D
    \frac{b}{a} - a.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Use as relações de Girard para o polinômio x^3 + ax^2 + bx + c, com c = \left(\frac{b}{a}\right)^3:

  1. r+s+t = -a
  2. rs+rt+st = b
  3. rst = -c = -\left(\frac{b}{a}\right)^3

O enunciado dá s^2 = rt. Substituindo na relação 3:

rst = s\cdot(rt) = s\cdot s^2 = s^3 = -\left(\frac{b}{a}\right)^3

Como s é real e a raiz cúbica real é única, s = -\dfrac{b}{a}.

Agora use a relação 1:

r + t = -a - s = -a + \frac{b}{a} = \frac{b}{a} - a

Conferindo com a relação 2: rs+st+rt = s(r+t) + s^2 = s(r+t+s) = s\cdot(-a) = \frac{b}{a}\cdot a = b. Bate com b, então o resultado é consistente.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATroca o sinal de s, usando s = b/a e ainda errando o sinal de -a.
  • BÉ o oposto do resultado correto: erra o sinal de toda a expressão.
  • CUsa s = b/a em vez de s = -b/a, errando o sinal de s ao tirar a raiz cúbica de -(b/a)^3.

Assunto: Equações polinomiais e relações de Girard.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 46 no caderno Q da UNICAMP 2013

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2013. Prova oficial ↗