PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 42 da UNICAMP 2013

1ª fase · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo C\hat{A}B = 30^\circ. Portanto, o comprimento do segmento CE é:

Triângulos isósceles semelhantes ABC e BDE com bases colineares AB e BD de medidas 2a e a, respectivamente, com vértices C e E conectados por um segmento de reta.

  1. A
    a\sqrt{\frac{5}{3}}.
  2. B
    a\sqrt{\frac{8}{3}}.
  3. C
    a\sqrt{\frac{7}{3}}.
  4. D
    a\sqrt{2}.
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Resolução comentada

Coloque A na origem e B em (2a, 0), com D em (3a, 0), pois A, B e D são colineares e BD = a.

O triângulo ABC é isósceles de base AB, então os ângulos da base valem 30^\circ e o vértice C fica sobre a mediatriz de AB, em x = a. Logo C = (a,\ a\,\tg 30^\circ) = \left(a,\ \frac{a\sqrt3}{3}\right).

O triângulo BDE é semelhante, com base BD = a e ângulos da base de 30^\circ. Então E fica em x = 2{,}5a e y = \frac{a}{2}\,\tg 30^\circ = \frac{a\sqrt3}{6}. Logo E = \left(\frac{5a}{2},\ \frac{a\sqrt3}{6}\right).

Na figura, o ângulo marcado em B no triângulo ABC e o ângulo marcado em B no triângulo BDE são ambos de 30^\circ, o que confirma a posição dos pontos.

Cálculo de CE:

  1. Diferença horizontal: \frac{5a}{2} - a = \frac{3a}{2}.
  2. Diferença vertical: \frac{a\sqrt3}{3} - \frac{a\sqrt3}{6} = \frac{a\sqrt3}{6}.
  3. CE^2 = \frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{36} = \frac{9a^2}{4} + \frac{a^2}{12} = \frac{27a^2 + a^2}{12} = \frac{28a^2}{12} = \frac{7a^2}{3}.

Portanto CE = a\sqrt{\frac{7}{3}}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResultado que não sai das coordenadas corretas, por erro na diferença das alturas ou das abscissas.
  • BResultado que não sai das coordenadas corretas, por erro na diferença das alturas ou das abscissas.
  • DResultado que não sai das coordenadas corretas, por erro na diferença das alturas ou das abscissas.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras e relações métricas, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Ver como caiu na prova Questão 42 no caderno Q da UNICAMP 2013

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2013. Prova oficial ↗