Questão 41 da UNICAMP 2013

Question

Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740\text{ \textdegree C}. Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a 40\text{ \textdegree C}. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função

T(t) = (T_0 - T_{AR}) \times 10^{-t/12} + T_{AR}

sendo t o tempo em minutos, T_0 a temperatura inicial e T_{AR} a temperatura do ar. Com essa função, concluímos que o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja 140\text{\textdegree\text{ C}} é dado pela seguinte expressão, com o log na base 10:

A
12[\log(7) - 1]minutos.
B
12[1 - \log(7)] minutos.
C
12\log(7) minutos.
D
[1 - \log(7)]/12 minutos.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 41 da UNICAMP 2013

1ª fase · Matemática: Função exponencial

Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740\text{ \textdegree C}. Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a 40\text{ \textdegree C}. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função

T(t) = (T_0 - T_{AR}) \times 10^{-t/12} + T_{AR}

sendo t o tempo em minutos, T_0 a temperatura inicial e T_{AR} a temperatura do ar. Com essa função, concluímos que o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja 140\text{\textdegree\text{ C}} é dado pela seguinte expressão, com o log na base 10:

A
12[\log(7) - 1]minutos.
B
12[1 - \log(7)] minutos.
C
12\log(7) minutos.
D
[1 - \log(7)]/12 minutos.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A função dá a temperatura no centro em função do tempo. Basta substituir os valores do enunciado e isolar t.

Dados: T_0 = 740, T_{AR} = 40 e T(t) = 140.
Substituindo: 140 = (740 - 40)\times 10^{-t/12} + 40.
Isolando a potência: 100 = 700\times 10^{-t/12}, logo 10^{-t/12} = \dfrac{1}{7}.
Aplicando \log (base 10) nos dois lados: -\dfrac{t}{12} = \log\left(\dfrac{1}{7}\right) = -\log(7).
Portanto, t = 12\log(7) minutos.

Conferindo: \log 7 \approx 0{,}845, então t \approx 10{,}1 min. Nesse instante, 10^{-0{,}845} \approx 1/7, e 700\cdot\frac{1}{7}+40 = 140. Confere.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubtrai 1 de \log 7 sem motivo; o resultado seria negativo, e tempo não pode ser negativo.
BTratar 100/700 como se fosse 10/7 ou confundir a razão leva a 1-\log 7, que não vem da equação.
DDivide por 12 em vez de multiplicar, errando ao isolar t no expoente -t/12.

Assuntos: Função exponencial, Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2013. Prova oficial ↗