PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 40 da UNICAMP 2013

1ª fase · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15^\circ. A 3{,}8\text{ km} da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.

Esquema ilustrando a decolagem de um avião a partir de uma pista com ângulo de 15° em relação à horizontal. À direita, a uma distância horizontal indicada de 3,8 km da cabeceira da pista, situa-se um morro íngreme.

Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de

  1. A
    3{,}8 \tan (15^\circ)\text{ km}.
  2. B
    3{,}8 \sen (15^\circ)\text{ km}.
  3. C
    3{,}8 \cos (15^\circ)\text{ km}.
  4. D
    3{,}8 \sec (15^\circ)\text{ km}.
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Pela figura, os 3,8 km são medidos na horizontal, entre a cabeceira da pista e a base do morro. A trajetória do avião sobe formando 15° com a horizontal.

Isso forma um triângulo retângulo:

  • cateto adjacente ao ângulo de 15°: a distância horizontal, 3{,}8\ \text{km};
  • cateto oposto ao ângulo: a altura h do avião sobre a base do morro;
  • hipotenusa: o caminho percorrido pelo avião no ar.

Como temos o cateto adjacente e queremos o cateto oposto, a razão trigonométrica que relaciona os dois é a tangente:

\tg(15^\circ)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{h}{3{,}8}

Isolando h:

h = 3{,}8\,\tg(15^\circ)\ \text{km}

Seno e cosseno exigiriam conhecer a hipotenusa, que o enunciado não dá. Se os 3,8 km fossem a distância percorrida no ar, a altura seria 3{,}8\,\sen(15^\circ), mas a figura indica a medida horizontal.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem trata os 3,8 km como o trajeto do avião (hipotenusa) em vez da distância horizontal.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa o seno, que só valeria se 3,8 km fosse a hipotenusa (distância percorrida no ar), e não a distância horizontal.
  • Co cosseno daria o cateto adjacente a partir da hipotenusa, não a altura.
  • Da secante é 1/\cos e daria a hipotenusa (trajeto no ar), não a altura.

Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo.

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Ver como caiu na prova Questão 40 no caderno Q da UNICAMP 2013

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2013. Prova oficial ↗