Considere o polinômio cúbico , onde a é um número real. a) No caso em que , determine os valores de x para os quais a matriz A abaixo não é invertível. b) Seja b um número real não nulo e i a unidade imaginária, isto é, . Se o número complexo é uma raiz de , determine o valor de .

Questão 12 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2016

2º dia · Matemática

Considere o polinômio cúbico p(x) = x^3 - 3x + a, onde a é um número real.

a) No caso em que p(1) = 0, determine os valores de x para os quais a matriz A abaixo não é invertível.

A = \begin{bmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & x & 1 \\ a & 3 & x \end{bmatrix}

b) Seja b um número real não nulo e i a unidade imaginária, isto é, i^2 = -1. Se o número complexo z = 2 + bi é uma raiz de p(x), determine o valor de |z|.

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Resposta esperada

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a)
A matriz A não é invertível se e somente se seu determinante é igual a zero. Assim, \det(A) = x^3 + a + 0 - ax - 0 - 3x = x^3 - 3x + a, que é igual ao polinômio p(x). Portanto, a matriz A não é invertível para os valores de x iguais às raízes de p(x). Como p(1) = 0, já sabemos que x = 1 é um dos valores procurados e, mais ainda, temos que 1^3 - 3 \times 1 + a = 0, ou seja, a = 2. Para determinar as outras raízes, dividimos p(x) por (x - 1) e obtemos a fatoração p(x) = (x - 1)(x^2 + x - 2). Resolvendo a equação quadrática x^2 + x - 2 = 0, obtemos x = 1 ou x = -2. Portanto, os valores de x para os quais a matriz A não é invertível são x = -2 ou x = 1.

b)
Temos que p(z) = p(2 + bi) = 0, ou seja, z^3 - 3z + a = (2 + bi)^3 - 3 \times (2 + bi) + a = 8 + 12bi - 6b^2 - b^3i - 6 - 3bi + a = (2 - 6b^2 + a) + (9b - b^3)i = 0. Igualando a parte imaginária, obtemos 9b - b^3 = b(9 - b^2) = 0. Do enunciado, b \neq 0 e, portanto, b^2 = 9. Assim, |z| = |2 + bi| = \sqrt{2^2 + b^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.

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Questão 12 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2016