Questão 11 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2016

2º dia · Matemática

Considere os três sólidos exibidos na figura abaixo, um cubo e dois paralelepípedos retângulos, em que os comprimentos das arestas, a e b, são tais que a > b > 0.

Três sólidos identificados como S₁, S₂ e S₃. S₁ é um cubo de arestas a, a e a. S₂ é um paralelepípedo retângulo com arestas a, a e profundidade b. S₃ é um paralelepípedo retângulo com base de arestas b e b, e altura a.

a) Determine a razão r = a/b para a qual o volume de S_1 é igual à soma dos volumes de S_2 e S_3.

b) Sabendo que a soma dos comprimentos de todas as arestas dos três sólidos é igual a 60\text{ cm}, determine a soma das áreas de superfície dos três sólidos.

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a) Os volumes são V_1=a^3, V_2=a\cdot a\cdot b=a^2b e V_3=b\cdot b\cdot a=ab^2.

Impondo V_1=V_2+V_3:

a^3=a^2b+ab^2

Como a>0, dividimos por a:

a^2=ab+b^2

Dividindo por b^2 e chamando r=a/b:

r^2-r-1=0 \Rightarrow r=\frac{1\pm\sqrt5}{2}

Como r=a/b>1>0, vale só a raiz positiva.

r=\dfrac{1+\sqrt5}{2}

b) Cada paralelepípedo tem 4 arestas de cada uma de suas três dimensões. Então:

  • S_1 (cubo, três dimensões a): 12a;
  • S_2 (dimensões a,a,b): 4a+4a+4b=8a+4b;
  • S_3 (dimensões b,b,a): 4b+4b+4a=8b+4a.

A soma é 24a+12b=60, ou seja, 2a+b=5.

As áreas de superfície são:

  • S_1: 6a^2;
  • S_2: 2(a\cdot a)+2(a\cdot b)+2(a\cdot b)=2a^2+4ab;
  • S_3: 2b^2+4ab.

Somando:

A=8a^2+8ab+2b^2=2\,(4a^2+4ab+b^2)=2\,(2a+b)^2

Substituindo 2a+b=5:

A=2\cdot 25=50

A soma das áreas é 50\ \text{cm}^2.

Assuntos: geometria espacial, paralelepípedo e cubo, equação do segundo grau.

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