A figura abaixo exibe o gráfico da função , definida para todo número real . Os pontos P e Q têm abscissas e , respectivamente, onde a é um número real e . a) Considere o quadrilátero T com vértices em , P , Q e . Para , verifique que a área de T é igual ao quadrado da distância de P a Q . b) Seja r a reta que passa pela origem e é ortogonal à reta que passa por P e Q . Determine o valor de a para o qual o ponto de intersecção da reta r com o gráfico da função f tem ordenada .

Questão 10 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2016

2º dia · Matemática

A figura abaixo exibe o gráfico da função f(x) = 1/x, definida para todo número real x > 0. Os pontos P e Q têm abscissas x = 1 e x = a, respectivamente, onde a é um número real e a > 1.

Gráfico da função y = 1/x no primeiro quadrante dos eixos x e y. Estão destacados sobre a hipérbole os pontos P com abscissa 1 e Q com abscissa a, com a > 1. Segmentos tracejados conectam a origem (0,0) a P, P a Q, e projetam P e Q perpendicularmente até os pontos 1 e a no eixo x.

a) Considere o quadrilátero T com vértices em (0,0), P, Q e (a, 0). Para a = 2, verifique que a área de T é igual ao quadrado da distância de P a Q.

b) Seja r a reta que passa pela origem e é ortogonal à reta que passa por P e Q. Determine o valor de a para o qual o ponto de intersecção da reta r com o gráfico da função f tem ordenada y = a/2.

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Resposta esperada

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Temos que P = (1, f(1)) = (1,1) e Q = (a, f(a)) = (2, f(2)) = (2,1/2). A área A do quadrilátero T pode ser calculada pela soma das áreas de um triângulo e um trapézio. O triângulo tem vértices em (0,0), (1,0) e P = (1,1); logo sua área é A_1 = \frac{1 \times 1}{2} = \frac{1}{2}. O trapézio tem vértices em (1,0), P = (1,1), Q = (2,1/2) e (a, 0) = (2,0); portanto sua área é A_2 = \big(1 + \frac{1}{2}\big) \times \frac{2-1}{2} = \frac{3}{4}. Assim, A = A_1 + A_2 = 5/4 e, sendo o quadrado da distância entre P e Q dado por D = (1 - 2)^2 + (1 - 1/2)^2 = 5/4, concluímos que A = D.

A reta que passa por P = (1,1) e Q = (a, 1/a) tem inclinação igual a m = \frac{\frac{1}{a}-1}{a-1} = -\frac{1}{a} e, como a reta r é perpendicular a ela, sua inclinação deve ser igual a -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{1}{a}} = a. Assim, a reta r passa pela origem O = (0,0) e tem inclinação a e sua equação cartesiana é então dada por \frac{y-0}{x-0} = a, ou seja, y = ax. No ponto de intersecção da reta r com o gráfico de f temos que ax = 1/x = a/2. Como a eq 0, de ax = a/2 obtemos x = 1/2 e, de 1/x = ax, obtemos a = 4.

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