Questão 9 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2016

2º dia · Matemática

Considere o triângulo exibido na figura abaixo, com lados de comprimentos a, b e c e ângulos \alpha, \beta e \gamma.

Triângulo de vértices com ângulos internos alfa, beta e gama, e lados opostos de comprimentos a, b e c, respectivamente.

a) Suponha que a sequência (\alpha, \beta, \gamma) é uma progressão aritmética (PA). Determine a medida do ângulo \beta.

b) Suponha que a sequência (a, b, c) é uma progressão geométrica (PG) de razão q = \sqrt{2}. Determine o valor de \tan \beta.

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a) Numa PA, o termo do meio é a média dos extremos: \beta=\dfrac{\alpha+\gamma}{2}, ou seja, \alpha+\gamma=2\beta.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^\circ:

\alpha+\beta+\gamma=180^\circ \Rightarrow 2\beta+\beta=180^\circ \Rightarrow \beta=60^\circ.

\beta=60^\circ

b) Como (a,b,c) é uma PG de razão \sqrt{2}, temos b=a\sqrt{2} e c=b\sqrt{2}=2a.

O ângulo \beta é oposto ao lado b. Pela lei dos cossenos:

b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta
2a^2=a^2+4a^2-4a^2\cos\beta
4a^2\cos\beta=3a^2 \Rightarrow \cos\beta=\frac{3}{4}.

Como \beta é um ângulo interno, \sen\beta>0:

\sen\beta=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}.

Logo:

\tg\beta=\frac{\sen\beta}{\cos\beta}=\frac{\sqrt7/4}{3/4}=\frac{\sqrt{7}}{3}.

\tg\beta=\dfrac{\sqrt{7}}{3}

Assuntos: progressão aritmética, lei dos cossenos, progressão geométrica.

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