Questão 12 da UFPR 2022

Question

Na figura ao lado, considere os segmentos de reta AE e CD, e os triângulos retângulos ABC e BDE. Suponha que o comprimento de AB é igual a x, e que o comprimento de AC é igual a y. Considerando que os segmentos AC e BD têm o mesmo comprimento, qual das alternativas abaixo corresponde ao valor do comprimento do segmento DE ?

Segmentos de reta AE e CD se cruzando no ponto B, formando os triângulos retângulos ABC, com ângulo reto em C, e BDE, com ângulo reto em D.

A
\frac{y}{\sqrt{x^2-y^2}}
B
\frac{\sqrt{x^2-y^2}}{y}
C
y\sqrt{(x^2-y^2)}
D
\frac{y^2}{\sqrt{x^2-y^2}}
E
\frac{\sqrt{x^2-y^2}}{y^2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 da UFPR 2022

1ª fase · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Na figura ao lado, considere os segmentos de reta AE e CD, e os triângulos retângulos ABC e BDE. Suponha que o comprimento de AB é igual a x, e que o comprimento de AC é igual a y. Considerando que os segmentos AC e BD têm o mesmo comprimento, qual das alternativas abaixo corresponde ao valor do comprimento do segmento DE ?

Segmentos de reta AE e CD se cruzando no ponto B, formando os triângulos retângulos ABC, com ângulo reto em C, e BDE, com ângulo reto em D.

A
\frac{y}{\sqrt{x^2-y^2}}
B
\frac{\sqrt{x^2-y^2}}{y}
C
y\sqrt{(x^2-y^2)}
D
\frac{y^2}{\sqrt{x^2-y^2}}
E
\frac{\sqrt{x^2-y^2}}{y^2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Os triângulos ABC e EBD são semelhantes. Os dois têm ângulo reto (em C e em D), e os ângulos em B são opostos pelo vértice, portanto iguais. Pelo caso AA, os lados correspondentes são proporcionais.

No triângulo ABC, a hipotenusa é AB = x e o cateto AC = y. Pelo teorema de Pitágoras:

BC^2 = x^2 - y^2, logo BC = \sqrt{x^2-y^2}.

A correspondência entre os vértices é A \leftrightarrow E, C \leftrightarrow D e B \leftrightarrow B. Assim, AC corresponde a ED e BC corresponde a BD. Pela semelhança:

\dfrac{DE}{AC} = \dfrac{BD}{BC}.

O enunciado diz que BD = AC = y. Substituindo:

DE = y \cdot \dfrac{y}{\sqrt{x^2-y^2}} = \dfrac{y^2}{\sqrt{x^2-y^2}}.

Verificação com a tangente do ângulo em B: \tg\beta = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{y}{\sqrt{x^2-y^2}}. No triângulo BDE, \tg\beta = \dfrac{DE}{BD} = \dfrac{DE}{y}. Então DE = \dfrac{y^2}{\sqrt{x^2-y^2}}, o mesmo resultado.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsquece de multiplicar por BD=y e dá apenas a razão AC/BC, que é a tangente.
BInverte a razão, usando BC/AC (cotangente), e também não multiplica por y.
CMultiplica y por BC em vez de dividir, associando mal os lados correspondentes.
EInverte a razão da semelhança e coloca y^2 no denominador.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 12 no caderno Fase única da UFPR 2022

Fonte: UFPR 2022 · Fase única. Prova oficial ↗