Questão 48 da UFPR 2021

Question

Considere o cubo de aresta 2 cm na figura ao lado, em que os pontos P e Q são vértices do cubo e N é o centro de uma das faces. Duas partículas A e B se deslocam sobre a superfície do cubo, percorrendo o caminho mais curto possível. A partícula A inicia sua trajetória em P e encerra em Q, e a partícula B vai do ponto P ao ponto N e em seguida ao ponto Q. Qual é a diferença em módulo, em cm, entre as distâncias percorridas pelas duas partículas?

Cubo em perspectiva isométrica mostrando o ponto P em um vértice superior esquerdo, o ponto N no centro da face superior e o ponto Q em um vértice inferior direito oposto.

A
6 + \sqrt{2} - \sqrt{5}.
B
2 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5}.
C
4 + \sqrt{2}.
D
4 + 2\sqrt{2}.
E
\sqrt{2} + \sqrt{10} - 2\sqrt{5}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 48 da UFPR 2021

1ª fase

Considere o cubo de aresta 2 cm na figura ao lado, em que os pontos P e Q são vértices do cubo e N é o centro de uma das faces. Duas partículas A e B se deslocam sobre a superfície do cubo, percorrendo o caminho mais curto possível. A partícula A inicia sua trajetória em P e encerra em Q, e a partícula B vai do ponto P ao ponto N e em seguida ao ponto Q. Qual é a diferença em módulo, em cm, entre as distâncias percorridas pelas duas partículas?

Cubo em perspectiva isométrica mostrando o ponto P em um vértice superior esquerdo, o ponto N no centro da face superior e o ponto Q em um vértice inferior direito oposto.

A
6 + \sqrt{2} - \sqrt{5}.
B
2 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5}.
C
4 + \sqrt{2}.
D
4 + 2\sqrt{2}.
E
\sqrt{2} + \sqrt{10} - 2\sqrt{5}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Vamos entender a figura: P é um vértice da face superior (à esquerda). N é o centro da face superior. Q é um vértice da base, à direita, no fundo. Então P e Q são vértices opostos do cubo (diagonal espacial), pois diferem nas três coordenadas: P está em cima, à esquerda e na frente; Q está embaixo, à direita e no fundo.

Setup: aresta a=2. Coloque P=(0,0,2) no topo, N=(1,1,2), Q=(2,2,0).

Partícula A (P a Q, vértices opostos). Desdobrando duas faces adjacentes num retângulo 2 \times 4, o caminho mais curto é a diagonal:

d_A=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

Partícula B (P a N, depois N a Q).

De P a N, na mesma face: é metade da diagonal da face, \frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
De N a Q: N está no centro da face superior e Q é um vértice da base, em face lateral adjacente. Desdobrando a face superior com a lateral que contém Q, N fica a 1 cm da aresta comum, e Q fica 2 cm abaixo da aresta, em posição horizontal que difere de N em 1 cm. Assim a distância é \sqrt{(1+2)^2+1^2}=\sqrt{10}.

Verificação: na face superior, N está a 1 da aresta comum e na posição média; Q está no extremo da aresta lateral, ou seja, a 1 cm de deslocamento lateral de N. Logo o caminho é \sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}.

d_B=\sqrt{2}+\sqrt{10}

Diferença:

|d_B-d_A|=\sqrt{2}+\sqrt{10}-2\sqrt{5}

Numericamente: 1{,}414+3{,}162-4{,}472=0{,}104, positivo, então o módulo não altera o sinal.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AMistura arestas inteiras (6) com as raízes, sem usar o desdobramento correto das faces.
BUsa trechos de 2 cm e 2√2 sem calcular a distância de N a Q pelo desdobramento.
CSoma caminhos por arestas e diagonais, ignorando o caminho mais curto.
DSoma em vez de subtrair as distâncias e usa valores que não são os trajetos mínimos.

Assuntos: geometria espacial, cubo, distância mínima na superfície.

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Questão 48 no caderno 1ª fase · Inglês da UFPR 2021

Fonte: UFPR 2021 · 1ª fase · Inglês. Prova oficial ↗

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