PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 47 da UFPR 2021
Na figura ao lado, há uma circunferência de centro C. Se o ângulo \alpha mede \pi/3 radianos, a razão entre a área do setor circular PCQ e a área do triângulo PCQ é:
- A\frac{\pi\sqrt{3}}{3}
- B\frac{2\pi}{3}
- C\frac{2\pi\sqrt{3}}{9}
- D\frac{\pi\sqrt{3}}{6}
- E\frac{4\pi\sqrt{3}}{9}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada
Seja r o raio da circunferência. Os segmentos CP e CQ são raios, e o ângulo entre eles é \alpha = \pi/3.
- Área do setor. A área de um setor de ângulo \alpha (em radianos) é \frac{\alpha r^2}{2}. Então:
A_{setor} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\cdot r^2 = \frac{\pi r^2}{6}
- Área do triângulo. O triângulo PCQ tem dois lados iguais a r com ângulo \pi/3 entre eles. Sua área é \frac{1}{2}\,r\cdot r\cdot\sen\alpha, com \sen\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}:
A_{tri} = \frac{1}{2}\,r^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r^2\sqrt{3}}{4}
- Razão.
\frac{A_{setor}}{A_{tri}} = \frac{\pi r^2/6}{r^2\sqrt{3}/4} = \frac{\pi}{6}\cdot\frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}
- Racionalizando:
\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{9}
O raio some na razão, então o resultado não depende do tamanho da circunferência.
Alternativa C.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AEsquece de racionalizar corretamente e erra a conta, chegando a \pi\sqrt{3}/3, que é o dobro do valor certo.
- BNão é obtida pela conta correta; ignora o fator \sqrt{3} vindo do seno de \pi/3.
- DUsa \pi/6 do setor e coloca \sqrt{3} no numerador sem inverter corretamente a área do triângulo, perdendo o fator 4/3.
- EDobra o resultado correto, como se usasse área do setor \pi r^2/3 (sem o fator 1/2).
Assuntos: área do setor circular, área do triângulo, razão entre áreas.
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Fonte: UFPR 2021 · 1ª fase · Inglês. Prova oficial ↗
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