PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 da UFPR 2009

1ª fase · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Considere o hexágono regular inscrito na circunferência de raio 2 centrada na origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme representado na figura ao lado. Nessas condições, é INCORRETO afirmar:

Sistema cartesiano centrado na origem O, contendo uma circunferência e a parte inferior de um hexágono regular inscrito com vértices identificados E, B sobre o eixo das abscissas e F, A abaixo dele.

  1. A
    A equação da circunferência é x^2 + y^2 = 4.
  2. B
    O triângulo com vértices nos pontos B, D e F é eqüilátero.
  3. C
    A distância entre os pontos A e D é 4.
  4. D
    A equação da reta que passa pelos pontos A e C pode ser escrita na forma px + qy = r, com r = 0.
  5. E
    A equação da reta que passa pelos pontos B e D pode ser escrita na forma y = px + q, com p < 0 e 0 < q < 2.
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Resolução comentada

Pela figura, E e B estão no eixo x, então B = (2, 0) e E = (−2, 0). Os vértices do hexágono regular inscrito ficam a 60° um do outro. Seguindo o sentido anti-horário a partir de B, vêm C, D, E, F, A. Logo:

  • B = (2, 0)
  • C = (1, √3)
  • D = (−1, √3)
  • E = (−2, 0)
  • F = (−1, −√3)
  • A = (1, −√3)

Agora, cada alternativa:

(A) O raio é 2, então x^2+y^2=4. Correta.

(B) B, D e F são vértices alternados do hexágono, então formam um triângulo equilátero. Conferindo, BD=\sqrt{9+3}=2\sqrt3 e DF=2\sqrt3. Correta.

(C) A e D são opostos, então AD é um diâmetro e vale 4. Correta.

(D) A e C também são opostos, então a reta AC passa pela origem. Ela tem a forma px+qy=0, com r=0. Correta.

(E) A reta BD passa por B(2, 0) e D(−1, √3). O coeficiente angular é p=\dfrac{\sqrt3-0}{-1-2}=-\dfrac{\sqrt3}{3}<0. O coeficiente linear é q=0-p\cdot 2=\dfrac{2\sqrt3}{3}\approx1{,}15. Esse valor está entre 0 e 2, então a afirmação é correta.

Precisa haver uma incorreta, então volto à posição dos vértices. Na figura, B está à direita e A está abaixo dele, à direita de F. A ordem anti-horária a partir de B é C, D, E, F, A. Os vértices que aparecem na parte de cima, sem rótulo na figura, são C e D, o que confirma a ordem. Reconferindo a (B): B, D e F são alternados (B→C→D→E→F), mas entre B e D há C, e entre D e F há E. Entre F e B há A. Logo, B, D e F são alternados e a afirmação (B) está correta.

Revendo a (D): A = (1, −√3) e C = (1, √3). Essa reta é x=1, e não passa pela origem, então r=1\neq0. Os opostos são A e D, e não A e C. Logo, a (D) é a incorreta.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa D engana quem acha que A e C são vértices opostos; na verdade A e C ficam na mesma vertical (reta x=1), e a reta não passa pela origem.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEstá correta: circunferência de raio 2 centrada na origem tem equação x^2+y^2=4.
  • BEstá correta: B, D e F são vértices alternados e formam triângulo equilátero de lado 2\sqrt3.
  • CEstá correta: A e D são opostos, e a distância entre eles é o diâmetro, 4.
  • EEstá correta: a reta BD tem p=-\sqrt3/3<0 e q=2\sqrt3/3, entre 0 e 2.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Ângulos, polígonos e quadriláteros, Equação da circunferência.

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Fonte: UFPR 2009 · 1ª fase. Prova oficial ↗