PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 da UFPR 2009

1ª fase · Matemática: Função exponencial

Em estudos realizados numa área de proteção ambiental, biólogos constataram que o número N de indivíduos de certa espécie primata está crescendo em função do tempo t (dado em anos), segundo a expressão

N(t) = \frac{600}{5 + 3 \times 2^{-0{,}1t}}

Supondo que o instante t = 0 corresponda ao início desse estudo e que essa expressão continue sendo válida com o passar dos anos, considere as seguintes afirmativas:

  1. O número de primatas dessa espécie presentes na reserva no início do estudo era de 75 indivíduos.
  2. Vinte anos após o início desse estudo, o número de primatas dessa espécie será superior a 110 indivíduos.
  3. A população dessa espécie nunca ultrapassará 120 indivíduos.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
  2. B
    Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  5. E
    As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmativa na expressão N(t) = \dfrac{600}{5 + 3 \times 2^{-0{,}1t}}.\n\nAfirmativa 1. No início, t=0, e 2^0 = 1:\n\n

N(0) = \frac{600}{5+3} = \frac{600}{8} = 75
\n\nVerdadeira.\n\nAfirmativa 2. Para t=20, o expoente é -0{,}1 \times 20 = -2, então 2^{-2} = \frac{1}{4}:\n\n
N(20) = \frac{600}{5 + 3 \times \frac14} = \frac{600}{5{,}75} \approx 104{,}3
\n\nIsso é menor que 110. Falsa.\n\nAfirmativa 3. Com o passar do tempo, t cresce e 2^{-0{,}1t} se aproxima de 0, mas sempre é positivo. Então o denominador é sempre maior que 5:\n\n
5 + 3 \times 2^{-0{,}1t} > 5 \Rightarrow N(t) < \frac{600}{5} = 120
\n\nLogo, a população tende a 120 mas nunca chega a esse valor, e portanto nunca o ultrapassa. Verdadeira.\n\nSão verdadeiras apenas as afirmativas 1 e 3.\n\nAlternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que a afirmativa 3 é verdadeira: o denominador é sempre maior que 5, então N(t) < 120.
  • BConsidera a afirmativa 2 verdadeira, mas N(20) = 600/5,75 ≈ 104, abaixo de 110, e omite a 3.
  • DToma a 2 como verdadeira (N(20) ≈ 104 < 110) e desconsidera que a 1 é verdadeira (N(0) = 75).
  • EInclui a afirmativa 2, que é falsa, pois N(20) ≈ 104,3.

Assunto: Função exponencial.

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Fonte: UFPR 2009 · 1ª fase. Prova oficial ↗