PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 da UFPR 2009

1ª fase · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Sabendo-se que x = 2 é um zero do polinômio p(x) = 9x^3 - 21x^2 + 4x + 4, é correto afirmar que a soma das outras duas raízes é igual a:

  1. A
    1/3.
  2. B
    3/7.
  3. C
    1.
  4. D
    4/21.
  5. E
    4/9.
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Resolução comentada

Pelas relações de Girard, em um polinômio cúbico ax^3+bx^2+cx+d, a soma das três raízes vale -\frac{b}{a}.

Aqui, a = 9 e b = -21. Então:

  1. Soma das três raízes: -\dfrac{-21}{9} = \dfrac{21}{9} = \dfrac{7}{3}.
  2. Uma das raízes é 2, então a soma das outras duas é \dfrac{7}{3} - 2.
  3. Fazendo a conta: \dfrac{7}{3} - \dfrac{6}{3} = \dfrac{1}{3}.

Conferindo por divisão: p(x) = (x-2)(9x^2 - 3x - 2). Multiplicando, 9x^3 - 3x^2 - 2x - 18x^2 + 6x + 4 = 9x^3 - 21x^2 + 4x + 4, que é p(x). As outras raízes vêm de 9x^2 - 3x - 2 = 0, cuja soma é -\dfrac{-3}{9} = \dfrac{1}{3}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde a nenhuma relação de Girard do polinômio; vem de combinar coeficientes sem critério.
  • CValor sem relação com o problema; esquece de subtrair a raiz 2 da soma total ou erra a soma das raízes.
  • DUsa o coeficiente c/d ou 4/21 misturando coeficientes errados, em vez de -b/a.
  • EUsa c/a = 4/9, que é a soma dos produtos das raízes duas a duas, não a soma das raízes.

Assunto: Equações polinomiais e relações de Girard.

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Fonte: UFPR 2009 · 1ª fase. Prova oficial ↗