PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 da UFPR 2007

1ª fase · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

No plano cartesiano, considere os pontos \text{A} = (0, 1), \text{B} = (2, 3) e \text{C} = (3, 5) e a reta \text{r} definida pela equação 3x + 4y = 12. Sabendo que a reta \text{r} divide o plano cartesiano em duas regiões, chamadas semiplanos, considere as afirmativas a seguir:

  1. Os pontos A e B estão no mesmo semiplano determinado pela reta r.
  2. A reta determinada por A e C é perpendicular à reta r.
  3. A circunferência que passa pelos pontos A, B e C intercepta a reta r em dois pontos distintos.
  4. Os pontos do semiplano que contém o ponto C satisfazem a desigualdade 3x + 4y \le 12.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
  2. B
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
  5. E
    Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.
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Resolução comentada

Para saber em qual semiplano um ponto está, substituímos suas coordenadas em 3x+4y-12 e olhamos o sinal.

Afirmativa 1. Em A: 3\cdot 0+4\cdot 1-12=-8<0. Em B: 3\cdot 2+4\cdot 3-12=6>0. Os sinais são diferentes, então A e B estão em semiplanos opostos. Falsa.

Afirmativa 2. A reta r tem y=-\tfrac{3}{4}x+3, com coeficiente angular -\tfrac34. A reta AC tem coeficiente angular \dfrac{5-1}{3-0}=\dfrac43. Como -\tfrac34\cdot\tfrac43=-1, as retas são perpendiculares. Verdadeira.

Afirmativa 3. A reta AB tem coeficiente angular \dfrac{3-1}{2-0}=1, e BC tem \dfrac{5-3}{3-2}=2. Como são diferentes, os pontos não são colineares e a circunferência existe. O ângulo em A entre AB e AC não é reto, então precisamos calcular. Em A, \vec{AB}=(2,2) e \vec{AC}=(3,4), e o produto escalar é 14\neq0. Vamos achar o centro (h,k) equidistante dos pontos:

  1. A e B: h^2+(k-1)^2=(h-2)^2+(k-3)^2, que dá -2k+1=-4h+4-6k+9, ou seja, 4h+4k=12, logo h+k=3.
  2. A e C: h^2+(k-1)^2=(h-3)^2+(k-5)^2, que dá -2k+1=-6h+9-10k+25, ou seja, 6h+8k=33.

Substituindo h=3-k: 18-6k+8k=33, então k=7{,}5 e h=-4{,}5.

O raio ao quadrado é 20{,}25+42{,}25=62{,}5. A distância do centro à reta r é \dfrac{|3(-4{,}5)+4(7{,}5)-12|}{5}=\dfrac{|-13{,}5+30-12|}{5}=\dfrac{4{,}5}{5}=0{,}9. Como 0{,}9<\sqrt{62{,}5}, a reta é secante, cortando a circunferência em dois pontos. Verdadeira.

Afirmativa 4. Em C: 3\cdot3+4\cdot5-12=17>0, então o semiplano de C satisfaz 3x+4y\ge12, não \le. Falsa.

Verdadeiras: 2 e 3.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem não verifica o sentido da desigualdade na afirmativa 4: C dá resultado positivo, então o correto é \ge.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera a afirmativa 1 verdadeira, mas A e B ficam em semiplanos opostos (sinais -8 e +6).
  • CA afirmativa 4 é falsa: em C, 3x+4y-12=17>0, logo vale \ge 12.
  • DA afirmativa 1 é falsa, pois A e B têm sinais opostos na equação da reta.
  • EA afirmativa 4 tem a desigualdade invertida; o semiplano de C é 3x+4y\ge12.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Equação da circunferência.

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Fonte: UFPR 2007 · 1ª fase. Prova oficial ↗