PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 da UFPR 2007

1ª fase · Matemática: Função exponencial

Um medicamento é administrado continuamente a um paciente, e a concentração desse medicamento em mg/ml de sangue aumenta progressivamente, aproximando-se de um número fixo S, chamado nível de saturação. A quantidade desse medicamento na corrente sangüínea é dada pela fórmula q(t) = S.[1 - 0{,}2^t], sendo t dado em horas.

Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir:

  1. Se q(t_0) = S/2, então t_0 = \text{log } 2
  2. Se t > 4, então q(t) > 0{,}99.S
  3. q(1) = 8.S/10

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
  2. B
    Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
  3. C
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  4. D
    Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
  5. E
    Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
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Resolução comentada

A fórmula é q(t)=S\cdot[1-0{,}2^t]. Vamos testar cada afirmativa.

Afirmativa 1. Fazendo q(t_0)=S/2:

1-0{,}2^{t_0}=\frac{1}{2}\Rightarrow 0{,}2^{t_0}=\frac{1}{2}

Aplicando log nos dois lados: t_0\cdot\log 0{,}2=\log 0{,}5. Como \log 0{,}2=-\log 5 e \log 0{,}5=-\log 2, temos

t_0=\frac{\log 2}{\log 5}\neq \log 2

Numéricamente, t_0\approx 0{,}301/0{,}699\approx 0{,}43, enquanto \log 2\approx 0{,}301. Afirmativa falsa.

Afirmativa 2. A base 0{,}2 está entre 0 e 1, então 0{,}2^t é decrescente. Para t>4:

0{,}2^t<0{,}2^4=0{,}0016

Logo 1-0{,}2^t>1-0{,}0016=0{,}9984>0{,}99, e então q(t)>0{,}99\,S. Afirmativa verdadeira.

Afirmativa 3. q(1)=S\cdot[1-0{,}2]=0{,}8\,S=\dfrac{8S}{10}. Afirmativa verdadeira.

São verdadeiras apenas a 2 e a 3.

Alternativa C.

Pegadinha: A afirmativa 1 engana ao esquecer o \log 0{,}2 no denominador: 0{,}2^{t_0}=1/2 não dá t_0=\log 2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera a afirmativa 1 verdadeira, mas a solução correta é t_0=\log 2/\log 5, não \log 2.
  • BEsquece que a afirmativa 3 também é verdadeira, pois q(1)=0{,}8S.
  • DIgnora que a afirmativa 2 é verdadeira, já que 0{,}2^4=0{,}0016 e q(t)>0{,}9984S.
  • EToma a afirmativa 1 como verdadeira e deixa de fora a 3.

Assuntos: Função exponencial, Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: UFPR 2007 · 1ª fase. Prova oficial ↗