PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 da UFPR 2007

1ª fase · Matemática: Medidas de dispersão

Os dados abaixo representam o tempo (em segundos) para carga de um determinado aplicativo, num sistema compartilhado.

Tempo (s) Nº de Observações
4{,}5 \vdash 5{,}5 03
5{,}5 \vdash 6{,}5 06
6{,}5 \vdash 7{,}5 13
7{,}5 \vdash 8{,}5 05
8{,}5 \vdash 9{,}5 02
9{,}5 \vdash 10{,}5 01
Total 30

Com base nesses dados, considere as afirmativas a seguir:

1. O tempo médio para carga do aplicativo é de 7,0 segundos.
2. A variância da distribuição é aproximadamente 1,33 segundos ao quadrado.
3. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
4. Cinqüenta por cento dos dados observados estão abaixo de 6,5 segundos.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
  2. B
    Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  5. E
    Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Em dados agrupados em classes, usamos o ponto médio de cada classe: 5, 6, 7, 8, 9 e 10, com frequências 3, 6, 13, 5, 2 e 1.

Afirmativa 1 (média):

  1. Soma: 3\cdot5+6\cdot6+13\cdot7+5\cdot8+2\cdot9+1\cdot10 = 15+36+91+40+18+10 = 210.
  2. Média: \bar{x}=210/30 = 7{,}0 s. Verdadeira.

Afirmativa 2 (variância): calculamos os desvios ao quadrado em relação a 7, multiplicados pelas frequências:

  • 3\cdot(-2)^2 = 12
  • 6\cdot(-1)^2 = 6
  • 13\cdot 0 = 0
  • 5\cdot 1 = 5
  • 2\cdot 2^2 = 8
  • 1\cdot 3^2 = 9

Soma =40. Variância populacional: 40/30\approx1{,}33. Verdadeira. (Amostral seria 40/29\approx1{,}38, mas o valor de 1,33 indica a populacional, tratando as 30 observações como o conjunto completo.)

Afirmativa 3: por definição, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Verdadeira.

Afirmativa 4 (mediana): abaixo de 6,5 há 3+6=9 observações, ou seja, 9/30=30\%. Para chegar a 50% (15 observações) é preciso entrar na classe 6{,}5\vdash7{,}5. Logo, a mediana está nessa classe e não é 6,5. Falsa.

Verdadeiras: 1, 2 e 3.

Alternativa A.

Pegadinha: A afirmativa 4 engana por 6,5 ficar dentro da classe central, a mais frequente; mas só 9 de 30 observações (30%) estão abaixo de 6,5.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BConsidera a afirmativa 2 falsa, mas a variância 40/30\approx1{,}33 está correta.
  • CMarca a 4 como verdadeira e a 2 como verdadeira, mas a 4 é falsa e deixa de fora a 1 e a 3, que são verdadeiras.
  • DOmite a afirmativa 1, mas a média é de fato 7,0 s.
  • EInclui a afirmativa 4, falsa (só 30% estão abaixo de 6,5 s), e exclui a 2.

Assuntos: Medidas de dispersão, Média aritmética e ponderada, Mediana e moda.

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Fonte: UFPR 2007 · 1ª fase. Prova oficial ↗