PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 da UFPR 2007

1ª fase · Matemática: Matrizes e determinantes

Sendo I a matriz identidade de ordem 2, A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 \end{bmatrix}, considere as afirmativas a seguir:

  1. A + A^t = 2.I
  2. \det(A \cdot B) = -\sqrt{3}
  3. B^{2007} = B

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
  2. B
    Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
  3. C
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
  5. E
    Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
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Resolução comentada

Afirmativa 1. A transposta troca linhas por colunas: A^t = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}. Somando:

A + A^t = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 2I

Verdadeira.

Afirmativa 2. Pelo teorema de Binet, \det(A\cdot B)=\det A\cdot\det B.

  1. \det A = 1\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 2.
  2. \det B = \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) - \frac12\cdot\frac12 = -\frac34-\frac14 = -1.
  3. \det(A\cdot B) = 2\cdot(-1) = -2, e não -\sqrt3.

Falsa.

Afirmativa 3. Calculamos B^2:

  • Posição (1,1): \frac34+\frac14 = 1.
  • Posição (1,2): \frac{\sqrt3}{4}-\frac{\sqrt3}{4}=0.
  • Posição (2,1): \frac{\sqrt3}{4}-\frac{\sqrt3}{4}=0.
  • Posição (2,2): \frac14+\frac34=1.

Logo B^2 = I. Então as potências se alternam: expoente par dá I, expoente ímpar dá B. Como 2007 é ímpar, B^{2007} = (B^2)^{1003}\cdot B = I\cdot B = B.

Verdadeira.

São verdadeiras as afirmativas 1 e 3.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aignora que B^2=I, o que torna a afirmativa 3 verdadeira.
  • Ba afirmativa 2 é falsa: \det(AB)=2\cdot(-1)=-2, não -\sqrt3.
  • Cinclui a afirmativa 2 (falsa) e exclui a 1 (verdadeira).
  • Einclui a afirmativa 2, que é falsa, e exclui a 3, que é verdadeira.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: UFPR 2007 · 1ª fase. Prova oficial ↗