PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 da UFPR 2005

1ª fase · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Na figura abaixo estão representados o sistema cartesiano ortogonal Oxy e o ponto A=(2,1). Para cada ponto P=(p,0) fixado no eixo x, com p \neq 2, obtém-se uma reta r que passa pelos pontos P e A e intercepta o eixo y em um ponto Q=(0,q).

Sistema cartesiano ortogonal Oxy com uma reta passando pelos pontos Q=(0,q) no eixo y, A=(2,1) e P=(p,0) no eixo x.

Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:

I. Se p = 3, então a equação da reta r é x + 2y - 3 = 0.

II. Se q = 2, então a reta r é paralela à reta de equação x + 2y + 1 = 0.

III. Se p = q, então a área do triângulo OPQ é de \frac{9}{2} unidades de área.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
  2. B
    Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
  3. C
    Somente a afirmativa II é verdadeira.
  4. D
    Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
  5. E
    Somente a afirmativa III é verdadeira.
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Resolução comentada

Cada afirmativa pede a reta que passa por A=(2,1) e por um ponto do eixo x ou y.

I. Com p=3, a reta passa por P=(3,0) e A=(2,1). O coeficiente angular é m=\frac{1-0}{2-3}=-1. A equação é y-0=-1(x-3), ou seja, x+y-3=0. A afirmativa diz x+2y-3=0. Testando P=(3,0) nessa equação, 3+0-3=0 funciona, mas A=(2,1) dá 2+2-3=1\neq 0. Logo, I é falsa.

II. Com q=2, a reta passa por Q=(0,2) e A=(2,1). O coeficiente angular é m=\frac{1-2}{2-0}=-\frac{1}{2}. A reta x+2y+1=0 tem y=-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}, com coeficiente angular -\frac{1}{2}. Os coeficientes são iguais e as retas são distintas, então são paralelas. II é verdadeira.

III. Com p=q, a reta passa por (p,0) e (0,p), e sua equação é x+y=p. Como A pertence à reta, 2+1=p, então p=q=3. O triângulo OPQ é retângulo em O, com catetos de medida 3. A área é \frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}. III é verdadeira.

São verdadeiras apenas II e III.

Alternativa D.

Pegadinha: A afirmativa I engana porque a equação x+2y-3=0 passa por P=(3,0), mas não por A=(2,1).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera I verdadeira, mas a equação x+2y-3=0 não passa por A=(2,1); a reta correta é x+y-3=0.
  • Baceita I, que é falsa, e rejeita II, que é verdadeira.
  • Creconhece II, mas esquece que III também é verdadeira (p=q=3, área 9/2).
  • Econsidera só III verdadeira, ignorando que II tem retas paralelas, ambas com coeficiente angular -1/2.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: UFPR 2005 · 1ª fase. Prova oficial ↗