PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 da UFPR 2005

1ª fase · Matemática: Permutações

Num concurso de televisão, um participante recebe do apresentador 4 envelopes lacrados. Em cada um desses envelopes há uma das letras da palavra JOGO. A competição consiste em o participante alinhar os quatro envelopes numa ordem qualquer, em seqüência, tentando obter a palavra JOGO. Após o participante estabelecer uma ordem, o apresentador começa a abrir os envelopes e paga R$ 1.000,00 para cada letra que estiver na posição correta. Qual é a probabilidade de o participante não ganhar prêmio algum?

  1. A
    0
  2. B
    1/2
  3. C
    1/3
  4. D
    1/6
  5. E
    1/12
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Resolução comentada

As letras são J, O, G, O (o O aparece duas vezes). Os envelopes estão lacrados, então o participante os alinha sem saber qual letra está em cada um. Isso equivale a sortear uma das ordens possíveis das letras.

  1. Total de ordens distintas da palavra JOGO: \frac{4!}{2!} = 12.

  2. O participante não ganha nada quando nenhuma letra fica na posição certa, ou seja, quando J não está na 1ª posição, O não está na 2ª nem na 4ª, e G não está na 3ª.

  3. Posições do alvo: J-O-G-O. Os dois O's ocupam duas das posições 1, 3 (as que não são a 2ª nem a 4ª), então os O's ficam obrigatoriamente nas posições 1 e 3.

  4. Restam as posições 2 e 4 para J e G. J pode ir na 2 ou na 4 (não na 1, já ocupada por O), e G idem, mas G não pode estar na 3, o que já está garantido. As duas ordens são:

  • O J O G
  • O G O J

  1. Conferindo: em OJOG, comparando com JOGO, as posições são O≠J, J≠O, O≠G, G≠O, sem acertos. Em OGOJ: O≠J, G≠O, O≠G, J≠O, sem acertos. Logo, são 2 casos favoráveis.

  2. Probabilidade: \frac{2}{12} = \frac{1}{6}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AExistem ordens sem nenhum acerto (OJOG e OGOJ), então a probabilidade não é zero.
  • BValor muito alto: só 2 das 12 ordens distintas não têm acertos.
  • CCostuma vir de contar errado os casos favoráveis (4 em 12) ou de tratar os dois O's como letras distintas.
  • EConta apenas 1 caso favorável em 12, esquecendo que OJOG e OGOJ servem.

Assuntos: Permutações, Probabilidade: conceitos básicos.

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Fonte: UFPR 2005 · 1ª fase. Prova oficial ↗