PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 da UFPR 2005

1ª fase · Matemática: Polinômios

A respeito do polinômio p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, sendo a, b, c, d números reais, considere as seguintes afirmativas:

I. Se 1 é raiz de p(x), então a + b + c + d = 0.
II. O resto da divisão de p(x) por (x-k) é p(k).
III. Se a = 0, então p(x) tem duas raízes reais.
IV. Se d = 0, então p(x) possui pelo menos uma raiz real.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
  2. B
    Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
  5. E
    Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmativa.

I. Se 1 é raiz, então p(1)=0. Como p(1)=a\cdot1^3+b\cdot1^2+c\cdot1+d=a+b+c+d, temos a+b+c+d=0. Verdadeira.

II. É o teorema do resto: dividindo p(x) por (x-k), o resto é p(k). Verdadeira.

III. Se a=0, o polinômio fica p(x)=bx^2+cx+d. Esse polinômio pode ter duas raízes reais, uma ou nenhuma, dependendo do discriminante. Por exemplo, b=1, c=0, d=1 dá x^2+1, sem raízes reais. Há ainda o caso b=0, em que ele nem é do segundo grau. Falsa.

IV. Se d=0, então p(x)=ax^3+bx^2+cx e p(0)=0. Logo, x=0 é raiz real. Verdadeira, e isso vale mesmo que a=0, desde que p não seja o polinômio nulo.

Assim, são verdadeiras I, II e IV.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem acha que o polinômio quadrático obtido com a=0 sempre tem duas raízes reais.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bdeixa de fora a I, que é verdadeira, pois p(1)=a+b+c+d.
  • Cconsidera a III verdadeira, mas com a=0 o polinômio quadrático pode não ter raízes reais.
  • Dinclui a III, falsa, e omite a IV, verdadeira, pois p(0)=0 quando d=0.
  • Eomite a IV, embora x=0 seja raiz quando d=0.

Assuntos: Polinômios, Equações polinomiais e relações de Girard.

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Fonte: UFPR 2005 · 1ª fase. Prova oficial ↗