Questão 27 (1º semestre) da UFG 2014

Precisamos achar as raízes de p(z) e ver quantos vértices tem o polígono regular formado por elas.

1. Primeiro fator: z^2+z+1=0. Multiplicando por (z-1) obtemos z^3-1=0, logo as raízes são as raízes cúbicas de 1, exceto z=1: z=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i.

2. Segundo fator, por agrupamento: z^4-z^3+z-1 = z^3(z-1)+(z-1) = (z-1)(z^3+1).

3. z^3+1=0 dá as raízes cúbicas de -1: z=-1 e z=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i.

4. Assim, as raízes de p são 1, -1, -\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i e \frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i.

5. Todas têm módulo 1. Seus argumentos são 0°, 60°, 120°, 180°, 240° e 300°, espaçados de 60° na circunferência unitária.

São 6 pontos igualmente espaçados, isto é, os vértices de um hexágono regular.

O composto orgânico de forma hexagonal regular é o anel de seis carbonos, o benzeno. Pireno, naftaleno, fenantreno e antraceno são formados por vários anéis fundidos (dois a quatro anéis), e não por um único hexágono.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AO pireno tem quatro anéis aromáticos fundidos, não é um único hexágono regular.
• BO naftaleno tem dois anéis fundidos, não um polígono regular de seis lados.
• CO fenantreno tem três anéis fundidos de forma angular, não um hexágono único.
• EO antraceno tem três anéis fundidos em linha, não um hexágono único.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Números complexos.

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